Радиусы поперечных сечений в процессе кручения не искривляются и сохраняют свою длину
Рис. 5.11
В результате взаимного поворота поперечных сечений происходит перекос прямых углов элемента, т.е. возникают угловые деформации γ. При этом, величина γ изменяется в зависимости от переменного радиуса rпо линейному закону и имеет наибольшее значение γнб в точках боковой поверхности.
. (5.10)
Деформации сдвига возникают от касательных напряжений τ, действующих согласно закону парности в поперечных и продольных сечениях стержня. Рассмотрим напряженное состояние стержня. Согласно закону Гука при сдвиге с учетом формулы (5.10) получим
. (5.11) Касательные напряжения, действующие в поперечных сечениях стержня, приводятся к крутящему моменту Мк.
, Величина
представляет собой полярный момент инерции сечения. Для сплошного круглого сечения он равен
. (5.12)
С учетом этого выразим относительный угол закручивания через крутящий момент . (5.13)
Величина GJp , входящая в эту формулу, называется жесткостью круглого стержня при кручении. Подставляя найденную величину φ'в равенство (5.11), получим формулу для определения касательных напряжений в поперечных сечениях круглого стержня при кручении
. (5.14)
Из этой формулы видно, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются в радиальном направлении по линейному закону (рис. 5.12). Наибольшее значение они принимают на контуре сечения приr = R
. (5.15)
где Wp — полярный момент сопротивления, равный
. (5.16)
Рис. 5.12 Рис. 5.13 Рис. 5.14
Формулы (5.13) — (5.15) справедливы также для трубчатого стержня (рис. 5.14). При этом полярный момент инерции и полярный момент сопротивления равны
. (5.17)
Определение углов закручивания стержней круглого сечения.Интегрируя равенство (5.13) по длине стержня в пределах от 0 до х, получим выражение для угла закручивания
. (5.18)
где φ0 — угол закручивания начального сечения. Если начальное сечение закреплено, то φ0 = 0. В частном случае, когда Мк= const, GJp = constи левый конец закреплен (рис. 5.17), получим
. Рис. 5.15
Эпюры Мк и φ для этого случая приведены на рис. 5.15. При нагружении стержня равномерно распределенным скручивающим моментом т (рис. 6.10) крутящий момент в произвольном сечении х равен Мк =ml– тх, где М0= ml — реактивный момент в заделке. Для определения углов закручивания подставим это выражение в формулу (5.18), принимая φ0 = 0. После интегрирования получим
.
Рис. 5.16
Эпюры Мк и φ приведены на рис. 5.16. Угол закручивания изменяется по закону квадратной параболы. Расчет стержней круглого сечения на прочность и жесткость.Кручение как основной вид деформации характерно для элементов машиностроительных конструкций.
Условие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет вид
, (5.19)
где — наибольший крутящий момент в стержне от действия нормативных нагрузок; Wp— полярный момент сопротивления; [τ] — допускаемое касательное напряжение. Из условия прочности (5.19) получим формулу для подбора сечения
.
Отсюда находим требуемые размеры сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.16) имеем
. (5.20)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17)
.(5.21) Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью. Условие жесткости при кручении имеет вид
, (5.22)
где [φ'] — допускаемый относительный угол закручивания, обычно принимаемый в пределах 0,15 ÷ 2 град/м. Из условия жесткости (5.22) имеем .
Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.12) имеем
. (5.23)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17) получим
. (5.24)
При расчете стержня на прочность и жесткость из двух требуемых значений диаметра надо принять большее. Допускаемое напряжение при кручении : для хрупких материалов для пластических материалов . 3.ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
Пример 1. Построить эпюру крутящих моментов для вала. 1. Изображаем расчетную схему (рис. 5.17,а).Реакцию в заделке определять не обязательно, так как в соответствии с методом сечений можно отбрасывать каждый раз правую часть вала с заделкой. Вал имеет четыре силовых участка:
Iучасток : IIучасток : IIIучасток : IVучасток :
Рис. 5.17
2. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 5.17, б). Выполняем проверку правильности эпюры. Место расположения скачков, их направление и величина соответствуют внешним приложенным крутящим моментам.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1143)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |