Способы численного интегрирования

1) Квадратурные формулы прямоугольников.

2) Квадратурная формулы трапеций.

3) Квадратурная формула Симпсона.

Рассмотрим поподробнее способ квадратурных формул прямоугольников.

Квадратурные формулы прямоугольников

Отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на n равных отрезков и получаем n+1 равноудаленных точек: x ₀ = a , x_n = b , x_{i +1} = x_i + h , i =(0,1,…, n -1), где h шаг разбивки. При этом обозначим .

Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой , где i=0,1,2,…,n-1

В зависимости от выбора m_i существует несколько формул прямоугольников.

· Формула «левых» (входящих) прямоугольников, когда m_i = x_i:

(2.8)

· Формула «правых» (выходящих) прямоугольников, когда m_i = x_{i -1}

 (2.9)

· Формула «средних» прямоугольников, когда m_i = x_i + h /2

(2.10)

Пример нахождения площади криволинейной трапеции

Найдем площадь криволинейной трапеции методом «левых» (входящих) прямоугольников.

Из графика видно, что искомая площадь будет состоять из 2-х площадей:

(2.11)

В моем случае a=0,7, b=4, x* - решение нелинейного уравнения (найденное ранее). х*=1,307456037.

Найдем S_1. Для этого, как говорилось ранее, разобьем отрезок от a до x * для начала на 5 частей. Шаг вычислим по формуле . В нашем случае h =0,121491207. Составим таблицу вида:

где x`=x+h, y `= y ( x `), т.к. функция до корня x* лежит в отрицательной области, то формула для метода входящих прямоугольников будет выглядеть:

Получаем, что I =0,075380714. Теперь уменьшаем шаг в 2 раза, т.е. увеличиваем количество разбиений в 2 раза, тогда получаем h=0,060745604.

Получаем значение интеграла: I=0,08468228, определим е по формуле (2.6). В нашем случае e=0,023936676.

Опять уменьшаем шаг в 2 раза и получаем 20 разбиений с h=0,030372802.

I=0,089359684. е=0,004677404, что удовлетворяет заданной точности. Тогда получаем, что

Аналогично рассмотрим участок от x* до b . Т.к. функция лежит в положительной области, то вычисляем интеграл по формуле (2.8).  Разбиваем участок на 5 частей, тогда h =0,538508793

Получаем, что I=3,449351066

Уменьшаем шаг в 2 раза, значит увеличиваем число разбиений до 10. получаем шаг h =0,269254396

Получаем, что I= 3,14028797, e=0,309063096.

Точность не удовлетворяет заданной, поэтому увеличиваем число разбиений до 10. h = 0,134627198.

Получаем, что I =2,987378894, е=0,152909076. Данная точность не удовлетворяет заданную, поэтому продолжаем разбиение.

Увеличиваем число разбиений до 40. h=0,134627198

Получаем I =2,911333086, e=0,076045808 что удовлетворяет заданной точности. Значит:

Тогда можем найти искомую площадь, которая будет находиться по формуле:

S= 3,000692769.

Вывод: полученная площадь вычислена с точность e=0,1, при этом количество разбиений до корня равно 10, а полсе корня – 40.

Аппроксимация