Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:;
673.1
673.2
;
673.3
;
673.4
;
673.5
.
Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов отноительно старых и новых осей координат:
674.1
;
674.2
;
674.3
;
674.4
;
674.5
.
Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:
675.1
;
675.2
;
675.3
;
675.4
;
675.5
;
675.6
.
Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
676.1
;
676.2
;
676.3
;
676.4
;
676.5
:
676.6
.
То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
677.1
;
677.2
;
677.3
;
677.4
;
677.5
;
677.6
;
677.7
;
677.8
.
Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:
678.1
;
678.2
;
678.3
;
678.4
.
Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:
679.1
;
679.2
;
679.3
;
679.4
.
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:
680.1
;
680.2
;
680.3
;
680.4
.
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:
Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( >0) определяет эллипс в том и тольк в том случае, когда А и суть числа разных знаков.
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( >0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( >0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда =0.
Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени ( <0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .
Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени ( <0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда =0.