Нормальное уравнение плоскости
Три точки в пространстве , и , не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Очевидно, что точка лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны. В соответствии с критерием компланарности это равносильно тому, что смешанное произведение указанных векторов равно нулю: . Последнее равенство и является уравнением плоскости, проходящей через данные три точки. Если расписать этот определитель (например, по элементам первой строки), то получим общее уравнение плоскости. Пусть плоскость определяется заданием вектора нормали , опущенного на плоскость из начала координат и длиной этого вектора. Пусть также , , - углы, образованные вектором с координатными осями , и . Тогда единичный, сонаправленный с вектором , вектор имеет координаты: . Точка лежит в указанной плоскости тогда и только тогда, когда справедливо равенство . Так как , то критерий принадлежности точки рассматриваемой плоскости может быть описан равенством: . Полученное равенство является уравнением данной плоскости, называемым ее нормальным уравнением. Отклонением точки от данной плоскости называется расстояние от этой точки до плоскости, взятое со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от рассматриваемой плоскости, и взятое со знаком минус, если точка и начало координат лежат по одну сторону от рассматриваемой плоскости. Рассмотрим произвольную точку пространства. Спроектируем эту точку на вектор . Пусть - полученная проекция. Отклонение точки от данной плоскости равно . Очевидно, что . При этом . Таким образом, . Другими словами, для нахождения отклонения точки от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо , и координаты этой точки. Очевидно, что расстояние от точки до плоскости определяется равенством: Отметим, что общее уравнение плоскости Можно привести к нормальному виду так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. Для этого нужно подобрать число такое, что , , , . Возводя в квадрат первые три равенства, складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, получим: , Откуда . Из равенства следует, что знак должен выбираться противоположным знаку свободного коэффициента . Число , определяемое таким образом, называется нормирующим множителем. Если умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель, то получим нормальное уравнение. В соответствии с этими рассуждениями заключаем, что расстояние от точки до плоскости определяется формулой: . Пример.Найти нормальное уравнение плоскости, проходящей через точки , , . ∆ Воспользуемся формулой для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданные три точки , и : . В результате получим: . Полученное уравнение является общим уравнением плоскости. Приведем его к нормальному виду. Для этого найдем нормирующий множитель: . Умножим обе части общего уравнения плоскости на найденный нормирующий множитель: . Это и есть нормальное уравнение данной плоскости. ▲
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1232)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |