Лабораторная работа № 2
Метод наименьших квадратов В случае аппроксимации полиномами Цель работы: научиться аппроксимировать таблично заданные функции методом наименьших квадратов, произвести подгонку экспоненциальной кривой: Постановка задачи: 1. Изучить теореточеские сведения. 2. Написать подпрограммы построения аппроксимирующей функции для таблично заданной функции. 3. Определить невязки аппроксимации. 4. Проверить вычисления с помощью встроенных функций. 5. Построить графики аппроксимирующих функций и заданной функции. Теоретические сведения
Предположим, что заданы точки и требуется произвести подгонку экспоненциальной кривой: (1) Для процедуры нелинейного метода наименьших квадратов требуется найти минимум: (2) Частные производные Е(А,С) по А и С равны (3) и (4) Если положить частные производные в эти формулы равными нулю и затем упростить эти выражения, то можно получить нормальные уравнения
(5) Полученные уравнения- это нелинейные уравнения с неизвестными Аи С, которые можно решить методом Ньютона. На это потребуется только время на вычисления и итерации, для которой нужны хорошие начальные значения для А и С. Во многих пакетах прикладных программ содержатся встроенные подпрограммы и минимизации функций от нескольких переменных, которые можно непосредственно использовать для минимизации функции Е(А,С). Например, симплекс-алгоритм Недлера-Мида можно непосредственно использовать для минимизации и обойтись без данных уравнений. Пример:Используем МНК и найдем экспоненциальную подгонку y=CeAx по пяти точкам: (0;1,5), (1;2,5), (2;3,5), (3;5,0) и (4;7,5). Для этого минимизируем величину Е(А,С): Е(А,С)=(C-1,5)2 +(СеА-2,5)2+(Се2А-3,5)2+(Се3А-5,0)2+(Се4А-7,5)2 Воспользуемся командой MATLAB fmins , чтобы найти приближения величин А и С, которые минимизируют Е(А,С) как М-файл в MATLAB. function z=E(u) A=u(1); C=u(2); z=(C-1,5).^2+(C.*exp(A)-2.5).^2+(C.*exp(2*A)-3.5).^2+… (C.*exp(3*A)-5.0).^2+(C.*exp(4*A)-7.5).^2; Используя команду MATLAB Сommand Window fmins и начальные значения А=1,0 и С=1,0, найдем >> fmins(‘E’,[1 1]) ans = 0.38357046980073 1.61089952247928 Такая экспоненциальная подгонка по пяти точкам имеет вид у=1,6108995е0,3835705 (подгонка нелинейным МНК).
Степенная прогонка В некоторых случаях функция имеет вид f(x)=AxM, где М- известная постоянная. Теорема (степенная прогонка):предположим, что {(xk,yk)}Nk=1- N точек с различными абсциссами. Коэффициент А кривой, построенной методом наименьших квадратов, y=AxM, равен
(6) Благодаря технике МНК видим, что минимум функции Е(А) равен (7) В данном случае достаточно решить уравнение E’(A)=0. Производная равна (8) Таким образом, коэффициент А является решением уравнения, которое приводит к равенству, приведенному выше.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (680)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |