Задачи, описывающие движение
Основные компоненты задач, описывающих движение: S – пройденный путь (пройденное расстояние); V – скорость движущегося тела; t – время движения. Допущения, которые обычно принимаются в условиях этих задач: 1) движение на отдельных участках считается равномерным (если не указано противное), т. е. 2) величины должны быть выражены в одной системе единиц; 3) повороты движущихся тел считаются мгновенными; 4) если тело движется по течению реки, то его скорость равна сумме скорости тела в стоячей воде и скорости течения:
если тело движется против течения, то 5) если два тела начинают движение одновременно навстречу друг другу, V1 и V2 – скорости тел; S – первоначальное расстояние между телами, то время в пути до встречи у обоих тел одинаково:
6) если два тела начинают движение одновременно в одном направлении, – скорости тел, V1 > V2, S – первоначальное расстояние между телами, то время, в течение которого одно тело догонит другое (время в пути до встречи) ; 7) если в задаче отсутствуют единицы длины, то весь пройденный путь можно принять за единицу; 8) если движение двух точек со скоростями V1 и V2 (V1 > V2) происходит по окружности длины l, то при движении в противоположных направлениях точки будут встречаться через время а при движении в одном направлении (при условии одновременного старта из одного положения) точка с большей скоростью нагонит другую, обогнав ее на целый круг: Т – время в пути до встречи. При решении задач полезно (но не обязательно) сделать чертеж. Неизвестные величины можно обозначать X, Y, Z или оставить обозначения, принятые в физике. Задача 1. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Поезд, идущий из А в В, пройдя 20 км, стоит полчаса, затем отправляется дальше и через 4 мин встречает поезд, идущий из В в А. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Определить скорости поездов. Решение.Нарисуем для удобства схему движения поездов (рис. 1.1), отметив на отрезке АВ места встречи и стоянок поездов, а также направления движений. Такой рисунок делать не обязательно, поскольку при решении задач на движение можно составлять таблицы с первоначальными данными или изображать график движения в системе координат .
Рис. 1.1 Схема движения поездов. AВ = 60 км; АС = 20 км; СД – путь, пройденный первым поездом за 4 мин; Д – место встречи поездов. V1 (км/ч) – скорость поезда, идущего из А в В (первого поезда); V2 (км/ч) – скорость поезда, идущего из В в А (второго поезда). Первый поезд стоял полчаса, поэтому затратил на путь от А до В время , второй поезд затратил на путь от В до А время Оба поезда прибыли к месту назначения одновременно, т. е. t1 = t2, или К моменту встречи в точке Д первый поезд прошел расстояние АД = АС + СД, где АС = 20 км, а СД – путь, пройденный первым поездом за 4 мин. Поскольку расстояние дано в километрах, а скорость в километрах в час, то минуты надо перевести в часы: 4 мин составляют часа. Тогда Расстояние АД первый поезд прошел за время За это же время второй поезд прошел расстояние ; Полученные уравнения образуют систему: Выразим из первого уравнения V1через V2 и подставим полученное значение во второе уравнение системы: Приведем выражение к общему знаменателю: Разделим левую и правую части уравнения на 2: Рассмотрим оба варианта. Если км/ч, тогда км/ч. По условию задачи скорости являются положительными величинами, поэтому – посторонние корни, не удовлетворяющие условиям. Если км/ч, то км/ч. Полученные значения удовлетворяют условиям задачи. Ответ: скорости поездов равны 60 и 40 км/ч. Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Через 16 ч после встречи автомобиль, следовавший из А, прибыл в В, а через 25 ч после встречи автомобиль, выехавший из В, прибыл в А. Сколько часов каждый автомобиль был в пути? Решение. Нарисуем схему движения автомобилей (рис. 1.2). Рис. 1.2 Схема движения автомобилей. V1, V2 – скорости автомобилей; расстояние АВ = S; С – место встречи автомобилей; t1, t2 – время в пути на АВ соответственно первого и второго автомобилей. Поскольку автомобили выехали одновременно, то в пути до встречи они были одно и то же время После встречи первый автомобиль проехал расстояние ВС за 16 ч, т. е. расстояние АС второй автомобиль преодолел за 25 ч, т. е. тогда Первый автомобиль прибыл в пункт В через 16 ч после встречи, а второй – через 25 ч, т. е. второй автомобиль был в пути дольше первого на ч. Запишем систему уравнений: Поскольку то система принимает вид
Ответ: время в пути первого автомобиля составляет 36 ч, а второго – 45 ч. Замечание. В этой задаче можно было принять расстояние АВ за единицу: S = 1, тогда в системе вместо уравнения можно было записать уравнение Задача 3. Студенты взяли на лодочной станции напрокат лодку. Сначала они спустились на 20 км вниз по течению реки, затем повернули обратно и вернулись на лодочную станцию, затратив на всю прогулку 7 ч. На обратном пути, на расстоянии 12 км от лодочной станции, они встретили плот, проплывавший мимо лодочной станции как раз в тот момент, когда они отправились на прогулку. Определить, с какой скоростью двигалась лодка вниз по течению реки и какова скорость течения. Решение. Нарисуем схему движения лодки (рис. 1.3). Рис. 1.3.Схема движения лодки . АВ = 20 км – расстояние, пройденное вниз по реке; у (км/ч) – скорость течения реки; х (км/ч) – скорость лодки в стоячей воде; С – место встречи лодки и плота; АС = 12 км. По условию задачи на путь от А до В и обратно студенты затратили 7 ч, (х + у) – скорость лодки при движении по течению реки, (x – y) – скорость лодки при движении против течения, поэтому За то время, что плот прошел расстояние АС = 12 км, студенты преодолели расстояние АВ = 20 км и ВС = (20 – 12) = 8 км, т. е. Запишем полученные уравнения в систему и решим ее. По условию задачи x > 0, y > 0, поэтому из второго уравнения системы: Подставив у в первое уравнение системы, получим
х = 7, тогда у = 3. Скорость лодки при движении вниз по течению реки равна (х + у), т. е. 10 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Ответ: скорость лодки по течению реки 10 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Задача 4. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проезжает всю кольцевую трассу каждый автомобиль? Решение.Сразу следует заметить, что в отличие от реальной жизни в задаче предполагается, что автомобили двигаются по одной и той же трассе, а не по концентрическим окружностям. Поскольку длина кольцевой дороги не указана в условиях задачи, то можно предположить, что ее длина составляет S метров или принять длину окружности за новую единицу длины. Пусть V1 (м/мин) и V2 (м/мин) – скорости автомобилей, V1 > V2. Время, которое требуется каждому автомобилю для проезда по всей кольцевой трассе, составляет t1 и t2 минут, причем Из условия задачи известно, что и Эти два уравнения запишем в систему, выразив скорости через время, что позволит оставить в уравнениях только два неизвестных: Сократим на S и получим Точно такую же систему можно было записать, если сразу предположить, что S = 1. Перепишем систему в виде и сначала почленно сложим, а затем почленно вычтем, левые и правые части уравнений, тогда получим откуда Ответ: один из автомобилей проезжает всю кольцевую дорогу за 14 мин, а другой – за мин.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1399)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |