Решение систем уравнений
Решение систем уравнений матричным методом. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: Ах = b, где: Если det A ≠ 0 то система или эквивалентное ей матричное уравнение имеет единственное решение. Решение систем уравнений с помощью функции Lsolve Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve. Функция lsolve(А, b) - возвращает вектор решения x такой, что Ах = b.
Решение системы уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему уравнений приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей. В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы. В MathCAD прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A). Решение систем уравнений с помощью функций Find или Minner Для решения системы уравнений с помощью функции Find необходимо выполнить следующее: 1. Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. MathCAD решает систему с помощью итерационных методов; 2. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений; 3. Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ≥ и ≤; 4. Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: х:= Find(х, у). Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое - либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.
Функция Minner очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minner возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minner такие же, как и функции Find. Функция Minerr(x1, x2, . . .) -возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
Символьное решение уравнений Имеются некоторые задачи, для которых возможности MathCAD позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде. Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения: • если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении; • если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде. Команда Символы→ Переменные→ Вычислитьпозволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Чтобы решить уравнение символьно, необходимо: 1. Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш Ctrl + =); 2. Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью; 3. Выбрать пункт меню Символы → Переменные → Вычислить. Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю. Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее: 1. Напечатать ключевое слово Given; 2. Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется Ctrl + =; 3. Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений; 4. Нажать Ctrl + .(клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). MathCAD отобразит символьный знак равенства →; 5. Щелкнуть мышью на функции Find.
4.5 Задания к лабораторной работе 3 Задание № 1 Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x) = 0 с помощью встроенной функции MathCAD root.
Задание № 2 Для полинома g(x) выполнить следующие действия: 1. с помощью команды Символы→ Коэффициенты полиномасоздать вектор V, содержащий коэффициенты полинома; 2. решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots; 3. решить уравнение символьно, используя команду Символы→Переменные→ Вычислить.
Задание № 3 Решить систему линейных уравнений: 1. матричным способом и используя функцию lsolve; 2. методом Гаусса; 3. используя функцию Find.
Задание № 4. Для полинома g(x) выполнить следующие действия: 1) разложить на множители, используя операцию Символы → Фактор; 2) подставьте выражение x = y + z в g(x), используя операцию Символы → Переменные → Замена (предварительно скопировав подставляемое выражение в буфер обмена, выделив его и нажав комбинацию клавиш Ctrl + C); 3) используя операцию Символы → Расширить, разложите по степеням выражение, полученное в 2); 4) используя операцию Символы → Подобные, сверните выражение, полученное в 3), по переменной z.
Задание № 5. 1) Найти первообразную аналитически заданной функции f(x), используя операцию Символы ⇒ Переменные ⇒ Интеграция. 2) Определить символьное значение первой и второй производных f(x), используя команду Символы ⇒ Переменные ⇒ Дифференциалы.
Контрольные вопросы 1. Какие символьные преобразования можно выполнять в MathCAD? 2. Как можно решить нелинейное уравнение в MathCAD? 3. Как найти начальное приближение корня уравнения? 4. Для чего используются функции root? polyroots? 5. Как можно решить систему линейных уравнений? 6. Как построить график? 7. Как построить несколько графиков в одной системе координат? 8. Как построить декартовый график? 9. Как отформатировать построенный график? 10. Как построить график кривой, заданной параметрически? 11. Как построить график в полярной системе координат? 12. Как построить график поверхности?
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2194)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |