Точки самопересечения
Исследование и изображение кривой, Заданной параметрически Курсовая работа
Екатеринбург 2014. Содержание ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………3 Исследование кривой…………………………………………………………5 1.Область определения………………………………………………………......5 2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой x=y ……………………………………………………………………………………6 3.Точки самопересечения………………………………………………………..8 4.Точки пересечения с осями координат……………………………………….9 5. Поведение на концах области определения………………………………....9 6. Уходы в бесконечность………………………………………………………10 7.Асимптоты……………………………………………………………………..11 8.Проверка на гладкость………………………………………………………...13 9.Вертикальные и горизонтальные касательные………………………………14 10.Обыкновенные точки, подозреваемые на перегиб…………………………16 11.Таблица поведения кривой…………………………………………………..18 12.Изображение кривой ………………………………………………………...19 Заключение……………………………………………………………………...20 Библиографический список источников…………………………………....21
ВВЕДЕНИЕ В доисторические времена человек наблюдал за природными явлениями, формой каких-либо предметов или физических тел. Лучи света, очертания стволов деревьев, листьев растений, линия горизонта, дуга радуги – все это непосредственно привлекало первобытных людей. Эти явления, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления линии. История развития изучения кривых обширна. Она захватывает почти 40 столетий и связана с именами таких великих математиков как Менехм, Архимед, Декарт, Брианшон, Паскаль, Штейнер, Шаль, Понселе и другие. В настоящее время в курсах высшей математики широко освещаются методы построение графика функции. Вместе с тем построение кривых, задаваемых параметрически, уделяется мало внимания, и многие стороны этого более сложного исследования почти не затрагиваются. Как следствие, практическая работа, связанная с параметрически заданными кривыми и их построения, представляют собой определенные трудности. В связи с этим тема работы является актуальной. Для нас, как для будущих учителей математики, исследование и изображение кривых является также немаловажным и выполняет первостепенные функции. Исследование кривой развивает аналитическое и логическое мышление, позволяет правильно конкретизировать мысли, излагая какой-либо научный материал. Навыки изображения кривой помогают решать задачи на построение. С помощью исследования методом дифференцирования развивается чувство абстрактности. А после построения кривой можно наглядно убедиться в правильности и точности всего исследования. Таким образом, данная тема является особо актуальной для студентов педагогических ВУЗов математической направленности. Цель исследования: освоить методы исследования и построения плоских кривых, заданных параметрическим способом в прямоугольной системе координат. Задачи исследования: 1.Изучить литературу по теме курсовой работы. 2. Провести исследование по данному плану. 3. Построить кривую.
Исследование кривой Исследовать плоские кривые, заданные векторно. Изучить форму кривой:
Область определения. Областью определения называется множество, на котором задается функция. Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует функция, называется областью определения. Пусть задано отображение f: X→Y. Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Если функция задана параметрически, то
Найдем область определения для нашей кривой: ;-1) (-1;1) (1;+ ) (- ;-1) (-1;1) (1;+ ) Таким образом, (- ;-1) (-1;1) (1;+ ). "Концы": - , -1-0, -1+0, 1-0, 1+0, + Область определения R, кроме t= Получили, что кривая состоит из трёх ветвей
2.Симметрия относительно осей координат, начала координат и прямой y=x. 1) Симметрия относительно осей Ох и Oy. Две точки А иА1 называются симметричными друг другу относительно прямойm, если прямаяm перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии. При сгибании плоскости чертежа по прямойm – оси симметрии симметричные фигуры совместятся. Симметрия относительно оси Ox: x(t) = x(-t) y(t) =- y(-t) Если x(t) x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Ox Симметрия относительно оси Oy: x(t) = -x(-t) y(t) =y(-t) Если x(t) x(-t) или y(t) y(-t), то кривая не симметрична относительно оси Oy.
a) Относительно оси Ох. Достаточное условие симметрии: x(-t)=x(t) y(-t)=-y(t)
Следовательно, кривая симметрична относительно оси Ох. b) Относительно оси Оу. Достаточное условие симметрии: x(-t)=-x(t) y(-t)=y(t)
т.е. х(t) не является нечетной. , т.е. у(t) не является четной. Таким образом, симметрия относительно Оy не установлена. 2) Симметрия относительно начала системы координат. Достаточное условие симметрии: x(t) = -x(-t) y(t) = -y(-t) Если x(t) -x(-t) или y(t) -y(-t), то кривая не симметрична относительно начала системы координат. По доказанному ранее уже известно, что x(t) является четной функцией, т.е. x(-t)= x(t). В связи с этим, симметрия относительно начала координат не установлена. 3) Симметрия относительно прямой у=х Пусть М(х(t), y(t)) M´ симметрична М относительно прямой y=x Тогда M (y(t), x(t)) Это означает, что существует t1:M (x(t1), y(t1)) t1 – функция от t должна быть биекцией D на себя, тогда x(t) = y(t1)
Чтобы определить симметрию относительно прямой y=x, нужно решить следующую систему: → Если подставить в данную систему t = , то система не имеет решение. Симметрия относительно прямой у=х не установлена. Точки самопересечения.
M (x(t), y(t)) называется точкой самопересечения, если существует такое значение параметра t, что
Чтобы найти точки самопересечения, решим следующую систему уравнений: (1) (2) Разделим уравнение (1) на уравнение (2) почленно: ; нет точек самопересечения. 4. Точки пересечения с осями координат. А) Найдем точки пересечения γ с осью Оy: ; ; Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Оy. Б) Найдем точки пересечения γ с осью ox: ; ; Итак, точка О (0;0) – точка пересечения γ с Ох. Таким образом, имеем точку пересечения с осями координат: О (0;0)- точка пересечения γ с Ох и Оу.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3428)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |