Плотность вероятности функции от случайной величины
Пусть y - случайная величина, связанная с x однозначной функциональной зависимостью вида у = f(x). Попадание случайной точки х в интервал шириной dx и попадание случайной точки у в отвечающий ему интервал шириной являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают: . Отсюда . Если функциональная связь между х и у неоднозначна, так что имеется несколько значений для одного значения у (х=g(у) - функция, обратная по отношению к у=f(х)), то выражение для плотности вероятности ру(у) обобщается: . Многомерная плотность вероятности Пусть имеем n случайных величин х1,х2, …, хn. Можно ввести n-мерную плотность вероятности p(х1,х2, …, хn), определяющую вероятность одновременного осуществления событий , , ..., , причем . Зная n-мерную плотность вероятности, всегда можно найти m-мерную (m < n) плотность вероятности меньшего порядка, интегрируя по лишним координатам: . Располагая многомерной плотностью вероятности, можно находить среднее значение любых комбинаций этих случайных величин и определять их моменты. В частности, для двумерной случайной величины будем иметь:
Новым по сравнению с одномерным случаем является смешанный момент второго порядка - ковариационный момент
или центрированный корреляционный момент
Вводят также безразмерный коэффициент корреляции
Для статистически независимых случайных величин
Статистически независимые случайные величины некоррелированы между собой: при . Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности не вытекает автоматически статистическая независимость случайных величин. Случайный процесс Под случайным процессом понимают множество (ансамбль) случайных функций хк(t), называемых возможными реализациями этого случайного процесса. В каждый выбранный момент времени t1 конкретная реализация есть случайная величина с плотностью вероятности и ее среднее значение определяется усреднением по всем возможным реализациям: Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. Для стационарных процессов плотность вероятности от времени не зависит: . Стационарный процесс называется эргодическим, если усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени в пределах одной реализации.
Кроме одномерной плотности вероятности вводят двумерную плотность вероятности совместной реализации двух значений: х1 в момент времени t1 и х2 в момент времени t2.
. Для стационарных процессов двумерная плотность вероятности зависит только от разности моментов времени Двумерная плотность вероятности определяет дополнительный момент - автокорреляционную функцию случайного процесса.
Иногда используют нормированные автокорреляционные функции:
Для стационарного процесса: . Если процесс не только стационарный, но и эргодический, усреднение по множеству может быть заменено усреднением по времени в пределах одной реализации:
Условие эргодичности для стационарного процесса с нулевым средним значением:
Это определяет стремление функции корреляции к нулю с увеличением временного сдвига t. Можно ввести интервал корреляции , который определяет время статистической зависимости между мгновенными значениями случайного сигнала.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1417)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |