Тема 2. Дифференцирование функции
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
Тема 1. Введение в анализ
Задача 1. Вычислить пределы: а) б)
в) г)
Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=−3 приводит к неопределенному выражению вида Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х : = = = = = ; б) При выражение дает неопределенность вида − . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на ( ):
=
в) Обозначим . Тогда и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела имеем: ·
= ·1·1= ; г) При выражение является неопределенностью вида 1∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела: .
Тогда имеем: =
Пусть 2х+1= −4у. Тогда 4х+5=−8у+3 и у − при . Переходя к переменной у, получим:
Тема 2. Дифференцирование функции Задача 2.Найдите производные функции: а) у=ln ; б) у= ; в) . Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем: у' = ' = '= = ;
б) у'=
=4
=4 ;
в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у':
−sin −sin
−y
Из последнего уравнения находим у': 2 Задача 3. Исследовать функцию у= и построить ее график. Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме: 1. Найдем область определения функции. 2. Исследуем функцию на непрерывность. 3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной. 4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. 5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. 6. Найдем асимптоты кривой. Реализуем указанную схему: 1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1. 2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах (−∞; 1) и (1; ∞). 3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств = (тогда f(х) – четная функция) или = (для нечетной функции) для любых х и −х из области определения функции: = , =−
Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной. 4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную: у'=
у'=0 при и у' − не существует при . Тем самым имеем две критические точки: Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): (−∞; 0), (0; 1), (1; ∞). В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительная и данная функция возрастает. При переходе через точку первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точку функция имеет минимум: уmin=y(0)=−1. Значит, А(0; −1) − точка минимума. На рис. 5 знаками +, −указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелами – возрастание и убывание исследуемой функции. 5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
у''=−
Рис. 5
у''=0 при , и у''− не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): (−∞; − ), (− ; 1), (1; ∞). На первом интервале вторая производная у''=0, при − абсцисса точки перегиба. Следовательно, В - точка перегиба графика функции.
Рис. 6 6. − точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами: , . Тогда , .
Значит, прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.
Рис. 7 Задача 4. Найти приближенное значение функции при значении исходя из её точного значения при . Решение: Известно, что дифференциал dy функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения этой функции . Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение приближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а , то имеет место приближенное равенство: . Пусть , Тогда (1) Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при . Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим численное значение производной при : или ; . Применяя (1), получаем .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (983)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |