Общие условия существования интеграла Стилтьеса
Определение интеграла Стилтьеса.
Определяется интеграл Стилтьеса следующим образом. Пусть в промежутке [a промежуток [a
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса. Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f
Предел здесь понимается в том смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток [a Как бы ни выбирать точки в соответствующих промежутках. При существовании интеграла (3) говорят также, что функция f Единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции взята сама независимая переменная x: Мы для определенности предполагали a<b; нетрудно аналогично рассмотреть и случай, когда a>b. Впрочем, он непосредственно приводится к предыдущему ввиду равенства продолжение Общие условия существования интеграла Стилтьеса.
Отсюда следует, что при a<b теперь все , наподобие того, как раньше было . Аналогично сумма Дарбу, здесь целесообразно ввести сумм
При одном и том же разбиении , причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм . Сами суммы Дарбу – Стилтьеса обладают следующими свойствами: 1-е свойство: Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшится. 2-е свойство: Каждая нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка. Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу – Стилтьеса: Наконец, с помощью сумм Дарбу – Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса: Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтоб было или если под понимать колебание функции f
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (717)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |