Алгебраизация обыкновенных дифференциальных уравнений
Требуется найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
При известных начальных условиях t = t0, Х0 Алгебраизация заключается в сведении системы ОДУ к системе конечных (алгебраических) уравнений, решаемых одним из изученных методов. В случае линейных ОДУ их алгебраизация производится с использованием символьного или операторного методов. В общем случае как линейных, так и нелинейных ОДУ алгебраизация ОДУ заключается в аппроксимации производных некоторыми выражениями, например отношениями конечных разностей. Вид аппроксимирующего выражения влияет на точность, устойчивость и скорость вычислений. Методы интегрирования ОДУ различают по виду таких выражений. Очевидно, что аппроксимация производных некоторыми конечными выражениями, выполненная при некотором значении времени tk справедлива лишь в окрестности этой точки, ограниченной величиной шага интегрирования h. Для нахождения зависимости на интервале от 0 до Tk необходимо сделать
Ш =(tk – t0) /h, где Ш – число шагов интегрирования. Численное решение является приближенным. Оно имеет 2 группы погрешностей: 1) Методические, связанные с аппроксимацией производных (они зависят от метода интегрирования). 2) Округления – обусловленные конечной точностью представления чисел в ЭВМ.
Различают также локальныепогрешности, допущенные на одном шаге интегрирования и накопленные, на определенном интервале за много шагов. Методы интегрирования делятся на явные и неявные. В явных методах решение определяется явным способом: Xk+1 = f(Xk; Xk-1; tk+1).
В неявныхметодах, находят решение системы уравнений: F(Xk+1; Xk; …. tk+1)= 0.
Различают по характеру изменения накопленной погрешности на устойчивые и неустойчивые. В устойчивом - погрешность растёт монотонно с увеличением шага. В неустойчивом – начиная с некоторого критического значения шага интегрирования происходит резкий (катастрофический) рост погрешности.
Различают методы различных порядков по величине накопленной погрешности. ε ~ ψ(t)hn, где n – порядокметода.
Явные методы
Применяют, когда производная выражена явно: , т.е. в нормальной форме Коши. Известны начальные условия: t = t0; X = X0 Разложим в ряд Тейлора интегральную кривую xj(t) в окрестности точки tk: xj (tk+1) = xj(tk) + dxj(tk)/dt *h + (1/2!) d2x(tk)/dt2 * h2+… h = tk+1 -tk dxj(tk)/dt = fj( xk, tk) d2xj(tk)/dt2 =[ fj( xk, tk) - fj( xk-1, tk-1) ]/h
- общая формула всех явных методов.
Метод Эйлера
Это - метод первого порядка. Расчет ведется по формуле Xk+1= Xk+ h F(Xk,tk). Она получается из общей формулы при p = 1. Методическая погрешность метода оценивается старшим отбрасываемым членом. На некотором интервале t0,t суммарная накопленная погрешность ε , где 0(h2)- величина, ограниченная по сравнению с h2.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (932)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |