Средние прямоугольники (посредине)
Рис 3 Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников. Рис 4 – ширина прямоугольников Формула левых прямоугольников: Формула правых прямоугольников: Формула средних прямоугольников. Погрешности методов Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет
Для формулы прямоугольников (средних)
Метод трапеций. Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] на n равных интервалов длины h точками . В этом случае шаг разбиения находим как h=(b-a)/n и узлы определяем из равенства . Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n): Рис. 5 На каждом отрезке заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и . В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение , то есть, примем . Площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями и шагом h, взятым со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.
Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене . Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций: Оценка абсолютной погрешности метода трапеций. Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла. Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них. При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода. Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (378)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |