Замечание:
1. Если , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда.
2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода:
сход., расход.
б) расход.
Þ
расход.
Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды и
Знакопеременные числовые ряды
Определение
, - действительные числа произвольного признака
В частности, , - знакочередующийся ряд
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
1. и сходятся - абсолютно сходится
2. сходится, а расходится - условно сходится
Замечание:
1. В сходящемся знакочередующемся ряде сумма S может быть заменена . Получаемая погрешность
2. Убывание модулей членов знакопеременного ряда можно доказать с помощью производной. Если с некоторого номера, то члены ряда убывают с этого номера.
3. Если расходимость ряда установлена признаком Даламбера или признаком Коши, то и ряд расходится, т. к. если или , то .
Алгоритм исследования знакопеременного ряда на сходимость.
1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда и исследовать его сходимость.
2. а) сходится абсолютно сходится; б) расходится 3 исследуй
3. Проверить условия признака Лейбница
Если 1) члены чередуются по знаку;
2)
3) то 1) сходится по признаку Лейбница
2) условно сходится, т. к. расходится
Функциональные ряды. Основные понятия
Понятие
Определение и обозначение
1. Функциональный ряд
2. Члены ряда
- функции от
3. Сходимость ряда в точке
сходится сходится в т.
расходится расходится в т.
4. Область сходимости ряда
сходится - область сходимости; - находится:
или ,
5. Последовательность частичных сумм
, где
,
6. Сумма сходящегося ряда
- сумма ряда
7. Остаток ряда
8. Равномерная сходимость ряда на
и
9. Абсолютная и равномерная сходимость ряда (признак Вейерштрасса)
1. и
2. числовой ряд - сходится
Þ
- сходится абсолютно и равномерно на
Свойства равномерно сходящихся рядов
1. - равномерно сходится на
2. - непрерывна и
3. - его сумма
Þ
1. - непрерывна на
2. , где (почленное интегрирование)
3. - равномерно сходится на , где
1. - сходится на , - его сумма
2. - дифференцируемые и
3. - непрерывны и
4. - равномерно сходится на
Þ
1. - равномерно сходится на
2.
(почленное дифференцирование)
Степенные ряды
Определение и
обозначение
(1)
(2) , где - постоянные коэффициенты
Радиус
сходимости.
Основная теорема
Для рядов (1) и (2) число , обладающие свойствами, - радиус сходимости
1) при
2) при
Свойства степенных рядов
1. , - непрерывна
2. - сходится
3. - сходится
Алгоритм определения интервала сходимости
1.Найти или
2.Решить неравенство , получить интервал сходности
3.Исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала
Разложение функции в степенной ряд
Ряд Тейлора (по степеням )
Ряд Маклорена (по степеням )
Алгоритм разложения функции в степенной ряд.
1. Найти все производные в точке :
2. записать ряд Тейлора для :
3. Найти интервал сходимости полученного ряда
4. Найти , где - остаточный член формулы Тейлора
5. Если
Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...