Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
В теории автоматического управления собственные значения часто называют характеристическими числами, а собственные векторы – характеристическими векторами. Это очень важные понятия, т.к. собственные значения системы определяют её динамические свойства (устойчивость, быстродействие и др.) Для введения указанных определений обратимся к векторно-матричному уравнению (3.12). Поставим вопрос, существует ли вектор где Эта задача известна как задача о характеристических числах. Значение Соотношение (3.15) можно переписать в виде однородного уравнения
Данное уравнение имеет решение только в том случае, когда Если раскрыть определитель, то получим так называемое характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения равны собственным значениям матрицы A. Они могут быть как действительными, так и комплексными. Особый интерес представляет коэффициенты характеристического уравнения (3.18)
и подставим значение
т.е. произведение характеристических чисел равно определителю матрицы
Коэффициент
Покажем справедливость соотношений (3.20) и (3.21) на основе примера квадратной матрицы С другой стороны Отсюда Понятие следа матрицы использовано в алгоритме Бохера, который применяют для получения коэффициентов характеристического уравнения (3.18). Обозначив след матрицы или в развёрнутой форме: Пример 3.9. Найти характеристическое уравнение матрицы
Использование алгоритма (3.23) при n = 3 требует вычисления трёх следов
Далее в соответствии с формулой Бохера имеем: Отсюда характеристическое уравнение равно
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |