Векторное произведение как антисимметричный тензор
Векторное произведение двух векторов впервые появилось при изучении векторной алгебры и определялось там, как вектор, поставленный в соответствие по определенному правилу перемножаемым векторам. Познакомившись с понятием тензора, мы увидели, что в действительности векторное произведение – псевдовектор (аксиальный вектор). В тензорном анализе векторное произведение векторов
Видим, что это удвоенная антисимметричная часть диады
В параграфе 19 формулой (142) мы обозначили существенные компоненты бивектора как А это и есть компоненты векторного произведения, как они были определены в векторной алгебре. Следовательно, векторное произведение двух векторов – это бивектор вида (149). Задачи. Задача 13. Расшифровать следующие тензорные символы: Решение. а) б) в) г) д) Рассмотрим произведение векторов
Задача 14. Показать, что сумма Решение. При переходе к новой системе координат тензоры Задача 15. Показать, что Решение. В выражении
Задача 16. Решение. Так как Задача 17. Показать, что свернутое произведение Решение. Разложим тензор Тогда Задача 18. Пусть физическая величина определена в прямоугольной системе координат двадцатью семью числами Решение. Обозначим через Видим, что величины Задача 19. Доказать формулу (119) для Решение. а) б) Каждое слагаемое по отдельности в скобках равно:
Поэтому Чтобы доказать третью формулу (119), вначале докажем вспомогательное тождество. Задача 20. Доказать тождество:
Решение. Для доказательства рассмотрим определитель:
Известно, что перестановка строк и столбцов ведет к изменению знака определителя. Например,
Если менять местами строки произвольное число раз, то Следовательно, для произвольной последовательности перестановок строк и столбцов получим:
Положим в определителе (152)
Задача 21. Используя тождество (151), доказать третью формулу (119), т.е. Решение. Разложим определитель в (151) по элементам первой строки: Положим теперь
Задача 22. Пользуясь свойствами и определением Решение. В параграфе 18 показано, что векторное произведение векторов а) Покажем, что векторное произведение ортогонально к своим сомножителям. Умножим обе части (154), например, на Скалярное произведение б) Докажем антикоммутативность векторного произведения. Векторное произведение в). Найдем модуль векторного произведения. Умножив обе части (154) на В соответствии с формулой (121) в правой части стоит смешанное произведение векторов Задача 23. Пользуясь определением и свойствами Решение. Смешанное произведение трех векторов
а) Докажем, что если векторы Расписывая каждое слагаемое подробно, так же, как в задаче 22а, легко показать, что оба они равны нулю, т.е. равно нулю само смешанное произведение. б) Докажем, что если переставить местами два сомножителя в смешанном произведении, то оно меняет знак: Поскольку здесь все индексы немые и их можно обозначить любыми буквами, то мы произвели замену индексов так: в) Докажем, что при круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется:
Здесь мы произвели замену немых индексов так: Задача 24. Доказать, что двойное векторное произведение трех векторов
Решение: Пользуясь Задача 25. Показать, что Решение. Как было определено в параграфе 19, бивектором называется антисимметричный тензор 2-ого ранга. Докажем вначале, что величины
т.е. величины Как было показано в параграфе 19 (формула (143)), вектор, эквивалентный бивектору, равен
Мы воспользовались здесь второй формулой (119). Таким образом, вектор, эквивалентный бивектору, совпадает с вектором Задача 26. Показать, что вектор, двойственный произвольному тензору Решение. Вектор, двойственный произвольному тензору второго ранга Разложив тензор
где Покажем, что первое слагаемое в (157), соответствующее симметричной части тензора
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1817)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |