Решение системы двух нелинейных уравнений
Дана система из двух нелинейных уравнений: . Точным решением системы (корнями) является пара чисел: , . Отделение корней. Область, в которой находятся корни, можно определить графическим способом.
Уточнение корней методом итераций. При решении системы уравнений методом итераций, она представляется в виде . Если за начальное приближение корней принять пару , то итерационный процесс выглядит, как: , … . Если итерационный процесс сходится, т.е. существуют пределы , , то эти пределы являются решением исходной системы уравнений. Для метода итераций справедлива следующая теорема: Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одна (и только одна) пара корней , . Если: 1) функции , определены и непрерывно дифференцируемы, 2) начальные приближения и все последующие приближения принадлежат окрестности R, 3) в окрестности R выполняется условие , , то процесс итерации сходится.
Уточнение корней методом Ньютона. Для удобства обозначений перепишем систему в виде: . Пусть - приближенные значения корней системы при тогда для точных корней можно записать , . Используя разложение Тейлора для функции многих переменных около и ограничиваясь линейными слагаемыми по и , запишем: , . Если рассматривать эти уравнения, как систему линейных уравнений относительно и , то ее определитель . По правилу Крамера вычисляем: , . В итоге итерационные формулы принимаю вид: , , где и определяются предыдущими соотношениями. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия: Лабораторная работа №4 1) С помощью метода итераций решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10-6. 2) С помощью метода Ньютона решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10-6. 1.a) b) 2.a) b) 3.a) b) 4.a) b) 5.a) b) 6.a) b) 7.a) b) 8.a) b) 9.a) b) 10.a) b) 11.a) b) 12.a) b) 13.a) b) 14.a) b) 15.a) b) 16.a) b) 17.a) b) 18.a) b) 19.a) b) 20.a) b) 21.a) b) 22.a) b) 23.a) b) 24.a) b) 25.a) b) 26.a) b) 27.a) b) 28.a) b) 29.a) b) 30.a) b)
Физическая задача №1 При поиске корней уравнения иногда ошибочно полагают, что если мало значение функции в какой то точке , то соответствующее значения аргумента близко к корню. Хорошим примером, иллюстрирующим ошибочность данного подхода является, например, ситуация экспоненциально затухающих электрических колебаний . Из формулы отчетливо видно, что на больших временах амплитуда тока очень мала, а число корней бесконечно и все они расположены через равные интервалы. Задача поиска корня может быть весьма полезной для поиска экстремумов функции, если искать корни ее производной. Постановка задачи. Пусть задана функция (
. (1)
При определенных значениях параметров функция описывает распределение молекул по скоростям Максвелла. Требуется найти максимум этой функции аналитически и с помощью поиска корня . Поиск корня осуществить (как минимум) двумя методами. Представить график функции. Параметры индивидуального задания задаются по формуле (1) с помощью перебора целых значений k и m (от 1 до 4) и значений коэффициента b от 0.1 до 0.5.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (773)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |