Геометрический смысл основных понятий
Дифференциальное уравнение геометрически представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым. Общее решение – уравнение семейства интегральных кривых , где параметр С=const . ) Частное решение – уравнение интегральной кривой семейства, проходящей через точку . Особые точки-точки плоскости, через которые либо проходит несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Определение 3.1Дифференциальные уравнения первого порядка (2.2) и (2.3) называются уравнениями с разделяющимися переменными ,если они представимы в виде (3.1) или (3.2).
В уравнениях (3.1) и (3.2) разделим переменные и проинтегрируем. или . После интегрирования получим либо общий интеграл, либо общее решение. Если заданы начальные условия , то найдем частное решение, подставив С , найденное по начальным условиям, вместо С .
Пример 3.1 Решить задачу Коши .
Решение: -это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. . Разделим переменные: и проинтегрируем
или - общий интеграл.
Решим задачу Коши: В общий интеграл подставим начальные условия:1 -0 =2С, С= . Запишем частный интеграл, подставив С= в общий интеграл дифференциального уравнения. - частный интеграл. Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решений. Геометрически решение данного дифференциального уравнения представляет собой семейство равносторонних гипербол , а частный интеграл, соответствующий решению задачи Коши - это гипербола , проходящая через заданную точку.(Рис.2)
Пример 3.2 Решить уравнение . Решение. Разделим обе части уравнения на , получим уравнение с разделяющимися переменными . Проинтегрируем это уравнение и получим - общий интеграл дифференциального уравнения . Потенцируя последнее равенство, получим общее решение уравнения , .Заметим , что решение входит в общее решение при С=0. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида при помощи подстановки , где - постоянные. Подставим в уравнение .Получим , т.е. . Проинтегрируем и получим . В общем интеграле вернемся к прежней переменной .
Пример 3.3. Решить задачу Коши . Решение. Пусть , тогда , или . Разделим переменные и проинтегрируем . Потенцируем полученное уравнение: или . - общее решение. Найдем частное решение:
. Подставим С в общее решение. - частное решение.
Задачи для самостоятельного решения Найти общее (частное) решение уравнения
3.1. . 3.2. , 3.3. 3.4. ; 3.5. Ответы: 3.1. ; 3.2. ; 3.3. 3.4. ; 3.5.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (461)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |