Методика исследования переходных процессов в электрических цепях
2.6.1. Методика исследования переходных процессов в электрических цепях, содержащих катушку индуктивности Цепь содержит катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 200 мГн, RP = 10 Ом, напряжение источника питания 60 В. Определить закон изменения тока и ЭДС самоиндукции в цепи. Определить практическую длительность переходного процесса и энергию магнитного поля при t = 2τ. Схема цепи приведена на рис. 2.42. Дано: R = 10 Ом L = 200 мГн RP = 10 Ом U = 60 B
Определить: i = f(t), t, = f(t), Wм
Рис. 2.42
1. Устанавливаем переключатели в положение 1 (под включение катушки к источнику постоянного напряжения). До замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1, т. е. в момент начала переходного процесса (t = 0), ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т. е. i0 = 0. После коммутации ток стремится достигнуть величины установившегося тока (iycт), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно. Согласно схеме U 60 iycт = I = ---- = ---- = 6 А, R 10 Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде i = iycт + iсв = iycт + A В этой формуле iсв = A где iсв - свободная составляющая тока; А - постоянная интегрирования; е = 2.71 - основание натурального логарифма; τ - постоянная времени переходного процесса, L τ = --- , где R - величина сопротивления, R через которое проходит переходный ток; t - текущее время. Определяем постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение i = iycт + icв = iycт + A примет вид: i0 = iycт + А, т. к. е0 = 1 значит, А = i0 – iycт = 0 – I, то есть А = – I Запишем уравнение (закон изменения переходного тока) при включении катушки i = iycт + icв = iycт + A = I – I = I ∙ (1 – ) ; В нашем случае i = 6 ∙ (1 – ) ; Находим постоянную времени переходного процесса L 200 ∙ 10-3 0.2 τ = --- = ------------ = ----- = 0.02 c. R 10 10 Практическая длительность переходного процесса t = 5 τ = 5 ∙ 0.02 = 0.1 с Строим график переходного тока i = f(t), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3 τ, t = 4 τ, t = 5 τ. Значения переходного тока для заданных значений времени: t = 0, i0 = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – 1) = 0 A; t = τ, i1 = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – e-1) = 6 ∙ (1 – 0.367.) = 3.79 A; t = 2τ, i2 = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е-2) = 6 ∙ (1 – 0.135) = 5.19 А; t = 3τ, i3 = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е-3) = 6 ∙ (1 – 0.049) = 5.70 А; t = 4τ, i4 = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е-4) = 6 ∙ (1 – 0.018) = 5.89 А; t = 5τ, i5 = 6 ∙ (1 – ) = 6 ∙ (1 – е-5) = 6 ∙ (1 – 0.007) = 5.96 А.
Строим график i = f(t)
Рис. 2.43 Закон изменения ЭДС самоиндукции можно получить из формулы
eL = – L = – L (I – I ) = – I ∙ L = – I ∙ L ∙ = – I ∙ R ∙ = – U _i В нашем случае eL = – 60 В Значения е для заданных значений времени следующие: t = 0, e0 = – 60∙e0 = – 60B t = τ, е1 = – 60∙е-1 = – 60 ∙ 0.367 = – 22,02 В; t = 2τ, е2 = – 60∙е-2 = – 60 ∙ 0.135 = – 8.1 В; t = 3τ, е3 = – 60∙е-3 = – 60 ∙ 0.049 = – 2.94 В; t = 4τ, е4 = – 60∙е-4 = – 60 ∙ 0.018 = – 1.08 В; t = 5τ, е5 = – 60∙е-5 = – 60 ∙ 0.007 = – 0.42 В.
Строим график eL = f(t)
Рис. 2.44
Энергию магнитного поля при t = 2τ можно вычислить так: L ∙ i22 0.2 ∙ 5.192 WM = -------- = ------------- = 2.96 Дж 2 2 2. Переключаем переключатель из положения 1 в положение 2 (отключаем катушку от источника постоянного напряжения при одновременном ее замыкании на сопротивление). В этом случае мы отключаем цепь от источника и при переключении в положение 2 в образовавшемся контуре ток поддерживается за счет энергии, накопленной в магнитном поле катушки. Энергия магнитного поля непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении контура идет необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую. i = iycт + icв = iycт + A В этом случае iycт = 0, т. к. при отключении цепи от источника ток в цепи будет равен нулю. Тогда i = A , L 0.2 0.2 где t = -------- = ---------- = ----- = 0.01 c - постоянная времени R + RP 10 + 10 20 переходного процесса.
Определим постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение i = A примет вид: i0 = А ∙ е0, т. е. i0 = A, U 60 но i0 = --- = ---- = 6 A - согласно первому закону коммутации ток в первый R 10 момент коммутации будет таким, каким был в последний момент до коммутации.
Значит, А = 6 А, тогда i = 6 ∙ А.
Длительность переходного процесса t = 5τ = 5 ∙ 0.01 = 0.05 с
Строим график i = f(t) (рис. 2.45), задавшись моментами времени t = 0, t = τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.1.
Таблица 2.3.1
Строим график i = f(t) Рис. 2.45
В соответствии с законом изменения ЭДС самоиндукции получим eL = – L = – L (I ) = I ∙ L = U В нашем случае eL = U = 60 ∙ В
Строим график eL = f(t) (рис. 2.46), задавшись моментами времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.2
Таблица2.3.2
Рис. 2.46
2.6.2. Методика исследования переходных процессов в электрических цепях, содержащих конденсатор и сопротивление
Цепь с последовательно включенными конденсатором емкостью С = 10 мкФ и сопротивлением R = 2 МОм подсоединяется к источнику постоянного напряжения U = 50 B (переключатель в положении 1). Определить законы изменения переходных напряжений и тока при заряде конденсатора и построить их графики. Затем цепь отключается от источника и одновременно переключатель переводится в положение 2, RP = 8 МОм. Определить законы изменения переходных напряжений и тока при разряде конденсатора и построить их графики. Определить практическую длительность заряда и разряда конденсатора и энергию электрического поля при t = 3τ. Схема цепи приведена на рис. 2.47. Дано: R = 2 МОм С = 10 мкФ RP = 8 МОм U = 50 B
Определить: i = f(t), t, uc = f(t), W
Рис. 2.47
τ = R ∙ С = 2 ∙ 106 ∙ 10 ∙ 10-6 = 20 с На основании второго закона коммутации получены законы, характеризующие напряженно и ток при заряде конденсатора: uc = uуст + uсв = U – U = U ∙ (1 – );
i = iсв = = I , где U - напряжение источника, uуст - установившееся значение напряжения при заряде конденсатора. uсв = – U - свободная составляющая напряжения при заряде конденсатора. Зарядный ток равен свободной составляющей, т. к. ток установившегося режима равен 0 (iуст = 0). Длительность заряда конденсатора t = 5τ = 5 ∙ 20 = 100 с Вычислим значения напряжения на конденсаторе при его заряде для значений времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. t = 0, uc0 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – e0 ) = 0 B t = τ, Uc1 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – e-1) = 50 ∙ (1 – 0.367.) = 31.6 B; t = 2τ, Uc2 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е-2) = 50 ∙ (1 – 0.135) = 43.23 B; t = 3τ, Uc2 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е-3) = 50 ∙ (1 – 0.049) = 47.51 B; t = 4τ, Uc4 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е-4) = 50 ∙ (1 – 0.018) = 49.08 B; t = 5τ, Uc5 = U ∙ (1 – ) = 50 ∙ (1 – е-5) = 50 ∙ (1 – 0.007) = 49.66 B.
Аналогично вычисляем значения зарядного тока согласно закону изменения переходного тока при заряде конденсатора для значений времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 2.3.3. Таблица 2.3.3
Согласно полученным результатам строим графики зарядного напряжения и тока в зависимости от t (рис. 2.48).
Рис. 2.48 Из построенных графиков uc(t) и i(t) можно для любого момента времени определить значения uс и i, а также рассчитать запасенную энергию в электрическом поле заряженного конденсатора. Например, при t = 3τ C ∙ 10 ∙ 10-6 ∙ 47.512 WЭ = -------- = --------------------- = 1128.6 ∙ 10-4 Дж ≈ 0,113 Дж 2 2 2. Переключатель в положении 2 (конденсатор разряжается через сопротивления R и RP). Быстрота разряда конденсатора также зависит от параметров цепи и характеризуется постоянной времени разряда конденсатора. τ = (R + RP) ∙ C = (2 ∙ 106 + 8 ∙ l06) ∙ 10 ∙ 10-6 = 10 ∙ 106 ∙ 10 ∙ 10-6 = 100 c На основании второго закона коммутации получены законы, характеризующие напряжение и ток при разряде конденсатора: uc = uсв = U i = iсв = – = – I
где U - напряжение заряженного конденсатора до начала разряда. Разрядные напряжения и ток равны их свободным составляющим, т. к. напряжение и ток установившегося режима после разряда равны 0 (uс уст = 0, iуст = 0). Длительность разряда конденсатора t = 5τ = 100 ∙ 5 = 500 с. Вычислим значения напряжения на конденсаторе при его разряде для значений времени t = 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ. t = 0, uc0 = U = 50e0 = 50 B t = τ, uc1 = U = 50e-1 = 18.39 B; t = 2τ, uc2 = U = 50е-2 = 6.77 B; t = 3τ, uc2 = U = 50е-3 = 2.49 B; t = 4τ, uc4 = U = 50е-4 = 0.92 B; t = 5τ, uc5 = U = 50е-5 = 0.34 B.
Аналогично вычислим значения разрядного тока согласно закону изменения переходного тока при разряде конденсатора для тех же значений времени i = – = ∙ = – 5 ∙ 10-6 A Знак "–" говорит о том, что разрядный ток имеет обратное направление зарядному. t = 0, i0 = – 5 ∙ 10-6 ∙ = – 5 ∙ 10-6 ∙ e0 = – 5 ∙ 10-6 A = – 5 мкА; t = τ, i1 = – 5 ∙ 10-6 ∙ = – 5 ∙ 10-6 ∙ e-1 = – 1.84 ∙ 10-6 A = – 1.84 мкА; t = 2τ, i2 = – 5 ∙ 10-6 ∙ = – 5 ∙ 10-6 ∙ 0.135 = – 0.68 ∙ 10-6 А = – 0.68 мкА; t = 3τ, i3 = – 5 ∙ 10-6 ∙ = – 5 ∙ 10-6 ∙ 0.049 = – 0.25 ∙ 10-6 А = – 0.25 мкА; t = 4τ, i4 = – 5 ∙ 10-6 ∙ = – 5 ∙ 10-6 ∙ 0.018 = – 0.092 ∙ 10-6 А = – 0.092 мкА; t = 5τ, i5 = – 5 ∙ 10-6 ∙ = – 5 ∙ 10-6 ∙ 0.007 = – 0.034 ∙ 10-6 А = – 0.034 мкА.
Согласно полученным расчетам строим графики разрядного напряжения и тока в зависимости от τ (рис. 2.49).
Рис. 2.49
Энергия электрического поля конденсатора в момент времени t = 3 τ
C ∙ 10 ∙ 10-6 ∙ 2.492 WЭ = -------- = --------------------- = 31 ∙ 10-6 Дж. 2 2
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (408)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |