Функции нескольких переменных
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f ( x0 + ). Здесь через обозначенонекоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + ) f ( x0) называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x0называется предел:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем: отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смыслпроизводной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Правила дифф функций
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование по частям и подстановкой. Функция F(x)F(x) называется первообразной функции f(x),f(x), заданной на некотором множестве X,X, если F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) для всх x∈X.x∈X. Если F(x−)F(x−) первообразная функции f(x),f(x), то Φ(x)Φ(x)является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда Φ(x)=F(x)+C,Φ(x)=F(x)+C, где CC - некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x)f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом ∫f(x)dx.∫f(x)dx. Таким образом, по определению ∫f(x)dx=F(x)+C,∫f(x)dx=F(x)+C, где F(x)F(x) одна из первообразных функции f(x)f(x) а постоянная CC принимает действительные значения.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (557)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |