Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом
Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы. Пример. С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений . Решение. В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее. Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где - алгебраические дополнения элементов . В нашем случае Тогда Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка. Следовательно, решение найдено верно. или в другой записи . 27. Группы. Свойства групп. Критерий подгруппы Алгебра G = с бинарной операцией называется группой, если: 1) бинарная операция ассоциативна; 2) во множестве существует элемент нейтральный относительно операции ; 3) для любого элемента в множестве существует элемент симметричный относительно операции . Существуют различные классификации групп. Наиболее распространёнными являются следующие. 1. В зависимости от того, является ли основное множество конечным или бесконечным, выделяют соответственно конечные и бесконечные группы. 2. В зависимости от того, обладает ли бинарная операция свойством коммутативности или нет, выделяют соответственно коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) группы. 3. По виду бинарной операции выделяют аддитивные (операция сложения) и мультипликативные (операция умножения) группы. Примеры. 1. Алгебра Z = является аддитивной абелевой группой. Действительно, операция сложения целых чисел ассоциативна; нейтральным относительно сложения целых чисел является целое число ноль; для каждого целого числа существует ему симметричное относительно сложения – противоположное по знаку целое число; кроме того, сложение целых чисел коммутативно. . Пусть a — элемент группы G. Для произвольного целого числа n положим a n = 1, если n = 0, a . . . a, если n > 0 (n множителей), (a −n ) −1 , если n < 0. Предложение 2.1. Пусть a — элемент некоторой группы и n, m ∈ Z. Тогда a n+m = a na m и (a n ) m = a nm. Определение 2.3. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой группы G (пишут H ≤ G), если H является 9 группой относительно той же операции, которая определена на G. 28. Поле. Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам: 1. (коммутативность сложения); 2. (ассоциативность сложения); 3. (существование нуля); 4. (существование противоположного элемента); 5. (коммутативность умножения); 6. (ассоциативность умножения); 7. (существование единицы); 8. (существование обратного элемента); 9. (дистрибутивность); 10. (в поле должно существовать хотя бы два элемента). Пример. Поля: – поле вещественных чисел, – поле рациональных чисел, Полем комплексных чисел называется множество , обладающее следующими свойствами: 1. — поле; 2. ( содержит ). При этом предполагается, что действия в в применении к элементам из приводят к тем же результатам, что и действия в . 3. Любое квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет в поле корень. 4. Каждый элемент поля является корнем какого-либо квадратного уравнения с вещественными коэффициентами. Рассмотрим уравнение Оно не имеет вещественных корней, но, по аксиоме 3, имеет корень в поле . Один из корней этого уравнения зафиксируем и обозначим (image) — мнимая единица. Пусть Теорема. Любой элемент поля можно единственным образом представить в виде , где . Доказательство. Докажем единственность. Предположим, что . Тогда Пусть . Тогда Получаем, что . Это невозможно, значит, . Тогда .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (515)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |