ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
Ряд Тейлора. Теорема 10. Если функция f(z) аналитична в круге В любой замкнутой области, принадлежащей этому открытому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно. Точка а – центр разложения, R – радиус сходимости. 2. Ряд Лорана. Будем предполагать, что функция f(z) аналитична в кольце К:
Рис. 1 Теорема 11. Если функция f(z) аналитична в кольце К, то она в этом кольце может быть представлена рядом Лорана:
Ряд Лорана можно получить, расширяя ряд Тейлора в область отрицательных значений n, n <0. Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени Пример. Рассмотрим разложение функции f(z). 1) Функция f(z) аналитична в круге
Рис. 2 2) Функция f(z) аналитична в кольце 3) Функция f(z) аналитична в кольце ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ВИД РЯДА ЛОРАНА. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется окрестность точки а, в которой функция f(z) аналитична и аналитичность нарушается при переходе к самой точке. Более точное определение: Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется кольцо К, вида Различают три типа изолированных особых точек: 1. изолированная особая точка а называется устранимой, если существует Пример. z=0 – устранимая изолированная особая точка функции Название устранимая особая точка оправдывается тем, что особенность функции в этой точке можно устранить, если положить 2. изолированная особая точка а называется полюсом, если функция f(z) неограниченно возрастает при Пример. z=3 – полюс точка функции Каждый полюс а функции f(z) является нулем а функции Порядком полюса а функции f(z) называют порядок нуля а функции Говорят, что точка а является нулем функции Пример. z=3 – полюс третьего порядка функции 3. изолированная особая точка а называется существенно особой, если не существует Пример. z=0 - существенно особая точка функции
рис. 1 По определению изолированной особой точки существует кольцо К: Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени Могут иметь место три случая: 1) ряд Лорана содержит только правильную часть Тогда 2) ряд Лорана содержит конечную главную часть Представим: Можно видеть, что Точка а – является полюсом функции f(z). В ТФКП, доказывается, что порядок полюса совпадает с числом членов в главной части ряда Лорана. 3) ряд Лорана содержит бесконечную главную часть В ТФКП, доказывается, что точка а– является существенно особой точкой функции f(z). Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: ЛЕКЦИЯ 8 План лекции 1. Теорема о вычетах. 2. Основные формулы вычета в полюсе. 3. Примеры на применение теоремы о вычетах. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: Обозначим Рассмотрим интеграл 1) 2) 3) Пояснение: формула Коши для высших производных Заменим в формуле Коши
Получили равенство: Теорема 12.(теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитична в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек Доказательство:
Выделим особые точки ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Получим (n+1) связанную область, ограниченную с и В соответствии с равенством (2): Подставляя (4) в (3), получим: ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧЕТОВ В ПОЛЮСЕ. 1. Найдем вычет Res По формуле Коши: Из сравнения полученных результатов следует Res 2. Найдем Res С другой стороны по формуле Коши для производных: Из сравнения полученных формул следует Res 3. Общая формула вычета в полюсе первого порядка. Пусть а – полюс первого порядка функции f(z). По определению существует кольцо К: Перейдем к пределу при Res 4. Найдем Res При выписанных условиях точка а является полюсом первого порядка функции Res Res 5. Общая формула вычета в полюсе порядка m. Пусть а – полюс порядка m функции f(z). Выпишем соответствующий этому полюсу ряд Лорана: Продифференцируем последнее выражение (m-1) раз Перейдем к пределу Получим следующие формулы вычетов в полюсе Res Res Res Res Res Пример 1.
рис. 1 (3 формула вычета) Пример 2.
![]() ![]() рис. 2 Правило определения порядка полюса: нужно из порядка нуля знаменателя вычесть порядок нуля числителя. Аналогичным образом легко показать, что
ЛЕКЦИЯ 9 План лекции 1. Лемма Жордана. 2. 2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана. 3. Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.
ЛЕММА ЖОРДАНА.
Лемма Жордана (первая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Положим Функциональный множитель Лемма Жордана (вторая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг
Рис. 2 Заменим во второй формулировке леммы Жордана р на –р. В этом случае контур Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг
Рис. 3 Заменим в первой формулировке z на –z. В функциональном множителе
Лемма Жордана (четвертая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4 Пример. Требуется найти функцию f(z), если преобразование Фурье функции В соответствии с преобразованием Фурье: Рассмотрим функцию 1. Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур
Рис. 5 Вычислим интеграл Перейдем в (*) к пределу при В результате получим, что 2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур
Рис. 6
Вычислим интеграл по контуру с:
Перейдем в (**) к пределу при В результате получим, что
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е. На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье:
Покажем, что ряд (1) и (2) эквивалентны Обозначим Ясно, что
Окончательно получим, что Представим интеграл (2) в виде Обозначим тогда Равенство (4) прямое преобразование Фурье. Оно позволяет вещественной функции f(t) поставить в соответствие функцию F(iw). Обычно прямое преобразование Фурье записывают в виде Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw). Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде:
Рассмотрим физический смысл интеграла (4). Множитель План лекции 4. Лемма Жордана. 5. 2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана. 6. Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.
ЛЕММА ЖОРДАНА.
Лемма Жордана (первая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Положим Функциональный множитель Лемма Жордана (вторая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг
Рис. 2 Заменим во второй формулировке леммы Жордана р на –р. В этом случае контур Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг
Рис. 3 Заменим в первой формулировке z на –z. В функциональном множителе
Лемма Жордана (четвертая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4 Пример. Требуется найти функцию f(z), если преобразование Фурье функции В соответствии с преобразованием Фурье: Рассмотрим функцию 2. Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур
Рис. 5 Вычислим интеграл Перейдем в (*) к пределу при В результате получим, что 2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур
Рис. 6
Вычислим интеграл по контуру с:
Перейдем в (**) к пределу при В результате получим, что
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е. На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье:
Покажем, что ряд (1) и (2) эквивалентны Обозначим Ясно, что
Окончательно получим, что Представим интеграл (2) в виде Обозначим тогда Равенство (4) прямое преобразование Фурье. Оно позволяет вещественной функции f(t) поставить в соответствие функцию F(iw). Обычно прямое преобразование Фурье записывают в виде Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw). Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде:
Рассмотрим физический смысл интеграла (4). Множитель ЛЕКЦИЯ 10 План лекции 1. Единичная ступенчатая функция. 2. Дельта - функция. 3.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (902)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |