Многоканальная СМО с очередью
Пусть на вход многоканальной СМО (n - число каналов, m - число мест в очереди) поступает экспоненциальный поток заявок. Длительность обслуживания заявки в каждом канале СМО - случайная величина, также распределенная по экспоненциальному закону. Интенсивность потока заявок одинакова для каждого канала и равна λ (1/сек), среднее время обслуживания заявки - tобсл. Обратная величина к среднему времени обслуживания определяет интенсивность потока обслуживания μ = 1/ tобсл, характеризующее среднее число заявок, которое может обслужить система в единицу времени. При наличии свободного канала приходящая заявка сразу отправляется на обслуживание. Если все каналы заняты, то заявка ставится в очередь. Если очередь заполнена, то заявка получает отказ. При освобождении канала и наличии заявок в очереди в освободившийся канал сразу помещается первая заявка из очереди. Обслуженные заявки покидают систему. Определим состояния Si для многоканальной СМО. S0 - система свободна, заявок нет, очереди нет; S1 - система обслуживает заявку в одном канале, очереди нет; S2 - система обслуживает заявки в двух каналах, очереди нет; ………………………………………… Sn - система обслуживает заявки в n каналах, очереди нет; Sn+1 -система обслуживает заявки в n каналах, одна заявка в очереди; ………………………………………… Sn+m - система обслуживает заявки в n каналах, в очереди находятся m заявок. Длина очереди m может быть неограниченной. λ λ λ λ λ
S0 S1 S2 S3 S4
μ 2μ 3μ 4μ 4μ
Рис. 4. Граф состояний четырехканальной СМО с очередью Граф состояний многоканальной СМО подобен графу СМО (рис. 3.3) и отличается только интенсивностями потока обслуживания (нижние стрелки на графе). При поступлении очередной заявки (если есть свободные каналы) система переходит в соседнее правое состояние. Интенсивность перехода вправо определяется интенсивностью входного потока λ. По-другому обстоит дело с потоком обслуживания. Если система находится в состоянии S1, то работает один канал и интенсивность обслуживания равна μ. В состоянии S2 параллельно работают 2 канала и поэтому интенсивность обслуживания равна 2μ. Рост интенсивности обслуживания прекращается после того, как все каналы оказываются занятыми. Для системы с n каналами максимальное значение интенсивности обслуживания равно nμ. Запишем уравнения Колмогорова для стационарного режима работы 4-х канальной СМО.
В этом примере видно, что в первых 4-х уравнениях, связанных с процессом заполнения каналов обслуживания, прослеживается одна закономерность, а в остальных уравнениях - другая. Выражая последовательно вероятности p1, p2, … , pn+m через p0, получим решение алгебраической системы уравнений Колмогорова
для k < n,
для k > n,
Вероятность p0 находится из последнего уравнения после подстановки в него предыдущих формул
На следующем шаге находим вероятности p1, p2, … p n+m. Проведем на основе этих выражений анализ основных вариантов функционирования многоканальной СМО.
Система без очереди (с отказами) (m = 0). Вероятность отказа. Очередная заявка, поступающая в СМО, не обслуживается, если все каналы обслуживания заняты. Это значит, что система находится в состоянии Sn. Вероятность нахождения системы в этом состоянии pn является вероятностью "отказа" в обслуживании.
Вероятность p0 соответствует состоянию S0, означающему, что в СМО нет заявок. Это коэффициент простоя p0. Величина (1 - p0) характеризует факт, что СМО занята обслуживанием заявок. Это коэффициент загрузки pзаг = 1 - p0.
Пропускная способность A. Это количество обслуженных заявок, покидающих систему в единицу времени. Пропускная способность равна количеству входящих заявок в единицу времени, умноженное на вероятность того, что заявка будет обслужена
Среднее число заявок nср, находящихся в СМО. В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, …, n заявок, при этом все заявки обслуживаются. Вероятность того, что в системе находится k заявок, равна pk. Среднее число заявок nср равно математическому ожиданию дискретной случайной величины со следующей функцией распределения вероятностей
Среднее число обслуживаемых заявок nоз - математическое ожидание дискретной случайной величины "количество занятых каналов" со следующей функцией распределения вероятности
В рассматриваемом случае в СМО очереди нет, nср = nоз. Средняя длина очереди равна нулю. Система работоспособна, если
Система с ограниченной очередью ( m ≠ 0.). Вероятность отказа. Очередная заявка, поступающая в СМО, не обслуживается, если все каналы обслуживания и все места в очереди заняты. Это значит, что система находится в состоянии Sn+m. Вероятность нахождения системы в этом состоянии pn+m является вероятностью "отказа" в обслуживании.
Вероятность p0 соответствует состоянию S0, означающему, что в СМО нет заявок. Это коэффициент простоя p0. Величина (1 - p0) характеризует факт, что СМО занята обслуживанием заявок. Это коэффициент загрузки pзаг = 1 - p0. Пропускная способность A. Это количество обслуженных заявок, покидающих систему в единицу времени. Пропускная способность равна количеству входящих заявок в единицу времени, умноженное на вероятность того, что заявка будет обслужена. Среднее число заявок, находящихся в СМО. В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, …, n + m заявок, при этом заявки 1, … n могут обслуживаться, а n + 1, … n + m могут находиться в очереди. Вероятность того, что в системе находится k заявок, равна pk. Среднее число заявок nср равно математическому ожиданию дискретной случайной величины со следующей функцией распределения вероятности
Среднее число обслуживаемых заявок nоз - математическое ожидание дискретной случайной величины "количество занятых каналов" со следующей функцией распределения вероятности (в состояниях Sn, … Sn+m обслуживается n заявок)
Средняя длина очереди rоч. - математическое ожидание дискретной случайной величины со следующей функцией распределения (в первых состояниях S0, … Sn очереди нет)
Средняя длина очереди резко возрастает при стремлении коэффициента загрузки pзаг к единице.
Для pзаг больше единицы работа СМО в стационарном режиме невозможна. Система с бесконечной очередью ( m = ∞ ). Вероятность отказа. В бесконечной очереди могут разместиться все пришедшие заявки. Поэтому вероятность отказа равна нулю. Вероятность p0 соответствует состоянию S0, означающему, что в СМО нет заявок. Это коэффициент простоя p0. Величина p0 находится из последнего уравнения системы уравнений Колмогорова, в которое входит сумма бесконечного числа слагаемых
В этом уравнении конечное число первых членов суммы со степенями 1,… n соответствуют n каналам обслуживания СМО. Остальные члены со степенями n + 1, …n + m, … соответствуют очереди и образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом Подставим в предыдущую формулу выражение для суммы членов геометрической прогрессии и получим формулу для вычисления p0.
Эта формула позволяет найти вероятность p0. Затем находятся остальные вероятности p1, p2, … pn+m, … по формулам, приведенным выше. В системе с бесконечной очередью бесконечное число состояний Si и соответственно бесконечная последовательность вероятностей { pi }. Последовательность вероятностей { pi } для состояний, соответствующих очереди, монотонно убывает. Поэтому продолжаем вычисление этих вероятностей до тех пор, пока соответствующее значение pN окажется меньше ε, где ε - принятая погрешность. Величина (1 - p0) характеризует факт, что СМО занята обслуживанием заявок. Это коэффициент загрузки pзаг = 1 - p0. Пропускная способность A. Это количество обслуженных заявок, покидающих систему в единицу времени. В системе с бесконечной очередью все поступившие заявки будут обслужены. Поэтому Среднее число обслуживаемых заявок nоз - математическое ожидание дискретной случайной величины "количество занятых каналов" со следующей функцией распределения вероятности (в состояниях Sn, … Sn+m обслуживается n заявок)
В этой формуле в скобках записана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом a1
и знаменателем
В результате получим формулу для вычисления среднего числа обслуживаемых заявок в СМО.
Средняя длина очереди rоч. - математическое ожидание дискретной случайной величины со следующей функцией распределения (в первых состояниях S0, … Sn очереди нет)
Очередь в рассматриваемом случае бесконечна, однако, средняя длина очереди - конечное число.
Для вычисления rоч преобразуем бесконечный ряд следующим образом
Разобьем этот ряд на два. Сумму положительных членов обозначим S1, а сумму отрицательных - S2,
Вычислим сумму первого ряда S1. Подставим в ряд формулы для pk, получим
где Ряд S1(x) сходится равномерно и поэтому его сумма является непрерывной функцией от x. Этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать. Вычислим интеграл от суммы ряда
В этой функцией в скобках стоят члены геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем
Запишем сумму этого ряда
Продифференцируем эту формулу по х и получим сумму ряда S1(x).
Второй ряд S2(x) - геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем Сумма ряда S2 равна
Объединяя формулы для S1 и S2, получим
Суммируя среднее число обслуживаемых заявок и среднее число заявок в очереди, получим среднее число заявок, находящихся в СМО nср.
Среднее время пребывания заявки в СМО. В стационарном режиме работы СМО ( pзаг <1 ) интенсивности входного и выходного потоков равны между собой и равны λ. Пусть в стационарном режиме среднее число заявок в системе в единицу времени равно nср. Тогда согласно теореме Литтла среднее время пребывания заявки в СМО - Tсист равно
Аналогично можно записать формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди Tоч. В общем случае
Эти формулы позволяют определить среднее время обслуживания заявки СМО - tобсл из следующего соотношения
В заключение отметим, что простые аналитические решения получены только для простейших систем массового обслуживания с входными потоками заявок экспоненциального или Пуассоновского типов. Поэтому эти результаты необходимо рассматривать как приближенные и оценочные. В аналитических моделях не удается учесть приоритеты заявок, реальные законы распределений, процессы обработки заявок в системе и многое другое. Поэтому в настоящее время основным методом анализа СМО является имитационное моделирование, позволяющее в численном виде получить характеристики системы, близкие к реальным.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (861)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |