Алгоритм №2 вычисления ранга матрицы
(метод элементарных преобразований).
1. С помощью элементарных преобразований получить а11=1. 2. С помощью элементарных преобразований получить аi1=0, i¹1 ( все элементы первого столбца, кроме первого, равны 0). 3. Выполнить пункты 1 и 2 алгоритма для элементов второго столбца. 4. продолжать алгоритм до тех пор, пока матрица не будет приведена к ступенчатому виду: . 5. Ранг полученной ступенчатой матрицы А¢ будет равен рангу исходной матрицы. rangA = rangA¢ = .
Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где . В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми. Пример выполнения заданий практической части Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы . Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор . Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всего два (можно Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум: . Пример 2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований: . Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки . Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
; из третьей строки вычтем первую, получим матрицу , которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Пример 3.Выяснить, при каком значении параметра матрица имеет 3 линейно независимые строки: . Решение. Матрица имеет три линейно независимые строки, если ее ранг равен 3, т.е. . Вычислим определитель матрицы: , , т.е. ; . Следовательно, при всех значениях , кроме , все строки линейно независимы. Пример 4. Определить максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы: . Решение. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранга матрицы, приведем ее к ступенчатому виду: ~ Значит, ранг матрицы и исходная матрица имеет 3 линейно независимые строки (или столбца). Задания для аудиторного занятия
1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы: 1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. . 2.Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований: 2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4. ; 2.5. ; 2.6. . 3.Найти максимальное число линейно независимых строк матриц: 3.1. ; 3.2. ; 3.3. ; 3.4. . Домашнее задание
1.Найти методом окаймления миноров ранг матрицы: 1.1. ; 1.2. ; 1.3. . 2. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований: 2.1. ; 2.2. ; 2.3. . 3.Найти максимальное число линейно независимых столбцов матриц: 3.1. ; 3.2. .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (366)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |