Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число
Пусть A, B, C – матрицы размерности . 1. Коммутативность суммы матриц . 2. Ассоциативность суммы . 3. Дистрибутивность , , - числа. 4. Ассоциативность произведения , - числа. 5. , где - нулевая матрица. 6. , где - нулевая матрица. Определение 3. Произведением матрицы (размерности ) на матрицу (размерности ) называется матрица , элементы которой вычисляются по формулам: , (2)
Пример 3. . Замечание 1. Из определения 3 следует, что умножить матрицу на матрицу можно лишь в том случае, когда число столбцов в матрице равно числу строк в матрице . Замечание 2. Пусть - квадратная матрица n-ого порядка, а - единичная матрица также n-ого порядка, тогда . (3) В самом деле, по определению умножения матриц, имеем . Аналогичным образом получаем, что . Свойства умножения матриц. 1. Ассоциативность , где , , - матрицы размерности соответственно: , , .
2. Дистрибутивность , где и - матрицы размерности , - матрица размерности . 3. , где - число, и - матрицы размерности соответственно и . Замечание 3. Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е. , если в частности , то матрицы и называются перестановочными. Обратная матрица. Определение 1. Квадратная матрица называется невырожденной, если и вырожденной, если . Пусть задана квадратная матрица: . Определение 2. Матрица называется обратной к матрице , если выполняется равенство , где - единичная матрица. Матрица, обратная к матрице , обозначается символом : . Справедлива следующая теорема . Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу. Пусть задана матрица и , тогда матрицу можно получить следующим образом: 1) вычисляем определитель матрицы ; 2) находим матрицу (заменим в матрице каждый элемент соответствующим ему алгебраическим дополнением ); 3) транспонируем матрицу , полученная матрица называется союзной и обозначается символом : ; 4) находим матрицу . Поясним сказанное на примере: . 1) ; 2) вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы и находим матрицы и
, , ,
, , ,
, , ,
, ; 4) ; 5) проверяем: . Легко убедиться, что . Ранг матрицы. Определение 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия: 1) вычеркивание нулевых строк (столбцов); 2) перестановка двух строк (столбцов); 3) прибавление к одной из строк (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число . Определение 2. Матрица называется ступенчатой, если ее диагональные элементы , а все элементы, лежащие ниже диагональных, равны нулю ( , если ). Например, матрица - ступенчатая. Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. Теорема 2. При любом способе приведения матрицы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду количество строк в полученной ступенчатой матрице будет одним и тем же. Определение 3. Рангом матрицы называется число строк в ступенчатой матрице, которая получается из матрицы элементарными преобразованиями. Ранг матрицы обозначается символами: Для вычисления ранга матрицы можно применить следующий алгоритм. 1. Вычеркиваем в матрице все нулевые строки, если они есть. 2. Т.к. теперь нулевых строк нет, то в 1-ой строке полученной матрицы найдется хотя бы один отличный от нуля элемент. Переставим столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте стоял элемент, отличный от нуля . 3. Первую строку, умноженную последовательно на ; ; ; , прибавим соответственно ко 2-ой, 3-ей, … , m-ой строке. Получим матрицу : . Вычеркнем в матрице нулевые строки, если они есть. Можно считать, что во 2-ой строке есть хотя бы один элемент, отличный от нуля. Переставим столбцы так, чтобы . 4.Умножим 2-ую строку последовательно на ; ; ; и прибавим соответственно к каждой из последующих строк. В результате получим матрицу . Вообще говоря, , т.к. при переходе от одной матрице к другой некоторые строки (нулевые) могли быть вычеркнуты. Повторяя описанные рассуждения через конечное число шагов, мы получим матрицу ступенчатого вида, число строк в которой и будет рангом матрицы . Поясним сказанное на примере. Вычислим ранг матрицы: . Умножим первую строку на «-2» и сложим ее со 2-ой, затем умножим 1-ую строку на «-1» и сложим ее с 3-ей; наконец, первую строку, умноженную на «-5», сложим с 4-ой. Приходим к матрице: . В матрице вторую строку, умноженную последовательно на «-2» и «-3», складываем соответственно с 3-ей и 4-ой строками, получаем: . Вычеркиваем в матрице третью и четвертую нулевые строки, получим , число строк в ступенчатой матрице равно 2. Следовательно, Теорема 3. Ранг матрицы не меняется при транспонировании. Рекомендуем читателю транспонировать матрицу в рассмотренном примере и убедиться, что
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (453)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |