Общая постановка задачи устойчивости по А.М. Ляпунову
Впервые строгое определение устойчивости было дано русским ученым А.М. Ляпуновым в 1892г. Пусть движение системы автоматического управления описывается дифференциальными уравнениями, которые могут быть приведены к виду
где Исходное состояние системы при Каждой совокупности начальных значении
Решение (3.2) описывает какое-либо движение системы, определяемое исходным состоянием. Некоторое вполне определенное движение системы, подлежащее исследованию на устойчивость, называют невозмущенным движением. Заметим, что выбор невозмущенного движения является произвольным. Это может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся. Допустим, что в качестве невозмущенного движения выбрано такое, которое описывается заданными функциями времени
Предположим, что функции
удовлетворяющим начальным условиям при
В частном случае, когда параметры системы не изменяются со временем и функции Изменим условия (3.5) дав начальным значениям переменных
Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (3.8), называют возмущенным движением. Другими словами, возмущенным движением системы называют всякое иное движение системы, отличное от невозмущенного. Введем новые переменные равные разности переменных Если все отклонения равны нулю, то возмущенное движение будет совпадать с невозмущенным движением. Пусть при
Начальные значения отклонений (3.11) называют возмущениями. А. М. Ляпуновым было дано следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным и при любом t > to будет выполняться неравенство
в противном случае движение неустойчиво. Практически устойчивость данного невозмущенного движения означает, что при достаточно малых начальных возмущениях возмущенное движение будет сколь угодно мало отличаться от невозмущенного движения. Если же невозмущенное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отходить от него, как бы малы ни были начальные возмущения. Если невозмущенное движение устойчиво и при этом любое возмущенное движение при достаточно малых начальных возмущениях стремится к невозмущенному движению, т. е.
то невозмущенное движение называют асимптотически устойчивым. При асимптотической устойчивости изображающая точка с течением времени должна неограниченно стремиться к началу координат, не выходя из сферы с радиусом Отметим некоторые особенности определения устойчивости по А. М. Ляпунову. Во-первых, предполагают, что возмущения налагаются только на начальные условия, иначе говоря, возмущенное движение происходит при тех же силах (источниках энергии), что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость рассматривают на бесконечно большом промежутке времени. В-третьих, возмущения предполагаются малыми.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (402)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |