Лекция 15. Бесконечно малые функции
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а). Свойства бесконечно малых функций: 1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а. 4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число d>0, что неравенство ïf(x)ï>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < ïx - aï < d. Записывается . Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим: а если заменить на f(x)<M, то: Определение. Функция называется бесконечно большойпри х®а, где а – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥. Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то Сравнение бесконечно малых функций Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю. Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x. Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b. Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка. Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b. Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка kотносительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля. Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (379)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |