Решение тестовых задач
Постановка задачи Решить задачу о растяжении стержня постоянного сечения продольными переменными усилиями. Решение получить МКР прямой подстановкой с учётом неоднородности стержня ( – модуль Юнга является функцией координаты). Проверить сходимость решения. Определить и построить сеточную функцию напряжений . Методика решения Решение поставленной краевой задачи будем производить методом конечных разностей при помощи прямой подстановки конечно-разностных аналогов производных в основное дифференциальное уравнение и граничные условия. Для построения конечно-разностной схемы преобразуем исходное дифференциальное уравнение к следующему виду . Следуя методу конечных разностей, мы имеем право, с некоторой погрешностью, заменить производные функций на конечно-разностные аналоги на некоторой сетке. Введём равномерную сетку: . На заданной сетке вводим сеточные функции: , , . Используем следующие конечно-разносные аналоги производных на внутренних узлах сетки : , , , . Подставляем полученные соотношения в основное уравнение , . После элементарных преобразований получаем следующую систему уравнений: , . Дополним систему граничными условиями. Для левой границы характерно граничное условие первого рода, которое в конечно-разностной форме имеет вид: . На правой границе имеем граничное условие второго рода. Заменяя производную на границе левой конечной разностью, получаем следующее конечно-разностное выражение: . В итоге получаем полную систему уравнений вида: Представим систему в матричном виде , где , , . Решение тестовых задач Произведём решение некоторых тестовых задач при конкретных значениях параметров. В результате решения получим графики изменения перемещений и напряжений по длине стержня. Для определения напряжений на внутренних узлах сетки используем следующий конечно-разностный аналог . На границах сетки воспользуемся левой и правой конечными разностями: , . 1) Произведём решение задачи, предполагая модуль Юнга непрерывным.
Решение задачи выполняем на последовательности сгущающихся сеток , , со следующими количествами точек сетки: , , . На рис. 1 представлены графики изменения перемещения по длине стержня, а на рис. 2 – графики изменения напряжений по длине стержня.
ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 1
Рис. 1. Изменение перемещений по длине стержня
ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 2
Рис. 2. Изменение напряжений по длине стержня
Оценим сходимость решения по перемещениям на последовательности сгущающихся сеток. Для этого определим гильбертову норму близости решений для каждой пары последовательных сеток . Норма имеет вид . В результате получим следующие значения норм:
2) Произведём решение задачи, предполагая модуль Юнга кусочно-непрерывным.
Решение задачи выполняем на последовательности сгущающихся сеток , , со следующими количествами точек сетки: , , . На рис. 3 представлены графики изменения перемещения по длине стержня, а на рис. 4 – графики изменения напряжений по длине стержня.
ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 3
Рис. 3. Изменение перемещений по длине стержня
ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 4
Рис. 4. Изменение напряжений по длине стержня
Оценим сходимость решения по перемещениям на последовательности сгущающихся сеток. Используем гильбертову норму из п. 1. В результате получим следующие значения норм:
Анализ результатов По полученным значениям норм п. 1 и п. 2 можно сделать вывод, что при увеличении числа точек сетки в два раза норма тоже уменьшается примерно в два раза, что говорит о сходимости решения по перемещениям и порядок сходимости равен единице, то есть сходимость пропорциональна шагу сетки в первой степени. Это следует из того, что в основном дифференциальном уравнении и на правой границе присутствует аппроксимация первой производной левой и правой конечными разностями, а подобная аппроксимация имеет первый порядок сходимости. Напряжения в стержне при растяжении/сжатии распределёнными усилиями должны быть непрерывны. Однако, из рис. 4 видно, что напряжения возле точки разрыва модуля Юнга претерпевают необъяснимые скачи. Отсюда можно сделать вывод, что методика прямой подстановки конечно-разностных аналогов не даёт корректного решения по напряжениям, так как не содержит учёта физических соотношений задачи. Выводы В результате выполнения работы построена конечно-разностная модель задачи о растяжении стержня распределёнными усилиями. Получены решения задачи при различных исходных данных. Произведена оценка сходимости решения по перемещениям на последовательности сгущающихся сеток. Показана некорректность применения метода прямой подстановки при решении задач с разрывным модулем Юнга.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (316)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |