Замена переменной в неопр. интеграле.
Определение первообразной, неопределенный интеграл, свойства первообразной Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство Теорема: Пусть - F1(x) и F2(x) - две первообразные для функции f(x) , тогдаF1(x)=F2(x)+C. Док-во: рассмотримF1(x) - F2(x) и найдем ее производную F1’(x) -F2’(x) получилосьf(x)-f(x)=0 (любой xпринадлежащий промежутку)По следствию т Логранжа (если произв. функции на множестве равно 0, то эта ф. - const ) ->F1(x) - F2(x)=const=C, чтд т.е. F1(x) = F2(x)+С Определениен. интеграла.Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается: Выражение Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной). 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Доказательство. Непосредственно по определению неопределенного интеграла следует, что 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
Доказательство.Из свойства 1 и по определению неопределенного интеграла и дифференциала, имеем 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного множителя.
Доказательство. На основании свойства 2 и определения неопределенного интеграла, имеем Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Доказательство. Введем новую функцию
Возьмем производную этой функции и применяя свойство 1, получим
Из теоремы Лагранжа найдется такое число С,что Замена переменной в неопр. интеграле. Теорема.: Пусть функция x= φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функции φ(t). Если функция ƒ(x) интегрируема на соответствующем интервале измененийx, то имеет место равенство: ∫ ƒ(x)dx=∫ƒ(φ(t))·φ'(t)dt Доказательство. Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует неопределенный интеграл∫ƒ(x)dx, а функция ƒ(x) в этом случае называется интегрируемой. По определению1 неопределенного интеграла ∫ ƒ(x)dx=F(x) +C, причемF'(x) = ƒ(x) Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции: ƒ(φ(t))·φ'(t). Для этого найдем (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| = = F'(φ(t))·φ'(t); Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда (F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t) ∫ƒ(φ(t))·φ'(t) dt = F(φ(t)) + C = F(x) + C = ∫ƒ(x) dx. ∫ƒ(x) dx = ∫ƒ(φ(t)) ·φ'(t) dt. Пример 1. Положим x – 1 = t ; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt. Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем Пример 2.
Решение. Положим
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (382)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |