Параллельное соединение RLC-элементов
Для параллельного соединения RLC-элементов (рис. 1) справедливо уравнение первого закона Кирхгофа. Для комплексных токов: где - соответственно активная, индуктивная и емкостная проводимости отдельных ветвей цепи. 9)Де́льта-фу́нкция (или δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке. Рассмотрим функцию δ (x, γ) колоколообразного типа, зависящую от параметра γ и удовлетворяющую условию
при любых (достаточно малых) значениях параметра γ. Предположим, что при убывании γ график этой функции вытягивается вдоль оси 0y и одновременно сжимается, как это показано на рисунке.
В результате предельного перехода γ → 0 функция δ (x, γ) преобразуется в дельта-функцию Дирака δ (x):
При этом
В некотором смысле дельта-функция представляет собой обобщение дельта-символа Кронекера, определяемого условиями
Очевидно, что дельта-функция является четной функцией, δ (–x) = δ (x), и обладает следующими свойствами:
Действительно, для любого сколь угодно малого числа ε > 0 функция равна нулю за пределами ε-окрестности точки x0. Поэтому
Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана на ее входе.
10) Метод переменных постоянных Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее. Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка: 11) Преобразования Лапласа Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал). Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция: f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x). Преобразование Лапласа является одним из самых мощных инструментов для решения очень многих задач в области математики, экономики, радиотехники,геометрии, теории управления, микропроцессоров, теории вероятности, теории массового обслуживания и много другого. Часто для решения задачи достаточно получить преобразование Лапласа от искомой функции (именно здесь и пригодится таблица преобразований Лапласа). Также преобразование Лапласа используют при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, для решения интегральных уравнений, вычисления несобственных интегралов, для представления сигнала в спектральной области и многого другого! Если в преобразовании Лапласа или таблице преобразований Лапласа Вам что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады Вам помочь!
Таблица преобразований Лапласа, таблица Лапласа
Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения, f(аt) =: F( ). ( 2 ) Доказательство. f(аt) =: = = = = = = F( ) Пр.6 sin at =: = ; cosat =: = Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s0 , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e-zt F(p + z) =: e-zt f(t) ( 3 ) Доказательство. e-zt f(t) =: = = F(p + z) Пр.7 ezt sin at =: ;ezt cos at =: Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту f(t - ) =: F(p) ( 4 ) Доказательство. f(t - ) (t- ) =: F(p) (t- ) - функция Хевисайда (0 если t < , 1 еслиt< ) f(t - ) =: = + + Первый интеграл равен 0, т.к. (t- )= 0 при t< . f(t - )=: = = = = F(p) Пр.8 (t - ) =: и (t – a) (t - а) =: с учетом Пр. 5 .
Интеграл свертки f2(t)=∫0tf1(τ)⋅h(t−τ)dτf2(t)=∫0tf1(τ)⋅h(t−τ)dτ позволяет при t > 0 найти реакцию f2(t) при произвольном воздействии f1(t) (причем f1 = 0 при t < 0), если известна импульсная характеристика цепи h(t)=h′1(t)=dh∗1(t)dt⋅δ1(t)+h1(0+)⋅δ(t)=h0(t)+h1(0+)⋅δ(t),h(t)=h′1(t)=dh1*(t)dt⋅δ1(t)+h1(0+)⋅δ(t)=h0(t)+h1(0+)⋅δ(t), где h1(t) = h1*(t)·δ1(t) – переходная характеристика; δ1(t) – единичная ступенчатая функция; τ – переменная интегрирования; t – текущее время (момент наблюдения). Поскольку t > 0, то все единичные ступенчатые функции под интегралом можно опустить Трудности взятия интеграла свертки возникают, если импульсная характеристика содержит дельта-функцию δ(t). Расчетная формула в этом случае f2(t)=∫0tf1(τ)⋅h0(t−τ)dτ+h1(0+)⋅f1(t),f2(t)=∫0tf1(τ)⋅h0(t−τ)dτ+h1(0+)⋅f1(t), где h0(t) — часть импульсной характеристики, не содержащая единичную импульсную функцию. При использовании операторного метода проще находить реакцию f2(t) по ее изображению F2(s) = H(s)·Fl(s), где H(s) – передаточная функция цепи. Интеграл свертки также называют интегралом наложения, выраженным через импульсную характеристику цепи. 12) Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
Связь между током и напряжением. Рассмотрим переход от оригиналов к изображениям в соотношениях, связывающих токи напряжения элементов цепи. Для резистора u = Ri, и в силу линейности преобразования Лапласа такая же связь имеет место и для изображений . Связь тока и напряжения на катушке uL = L di/dt перепишем с использованием правила изображения производной . Эту же связь можно представить и иначе: . Аналогично выполняется переход к изображению связи между током и напряжением конденсатора iC = C duC/dt: или . Из полученных выражений следует, что дифференциальные соотношения для оригиналов заменяются алгебраическими соотношениями для изображений, отражающим все исходные данные задачи, включая начальные условия. В этом и состоит суть операторного метода расчета переходных процессов: дифференциальные уравнения, описывающие переходный процесс, заменяются алгебраическими уравнениями для изображений. Полученные операторные связи допускают схемную интерпретацию. Выражение для напряжения на катушке позволяет получить схему, приведенную на рис. 19.4, а, в которой эквивалентом катушки является ее операторное сопротивление ZL(s) = sL, включенное последовательно с источником ЭДС EL(s) = LiL(0). Рис. 19.4 Из выражения, разрешенного относительно тока IL(s), получаем схему с параллельным соединением операторной проводимостикатушки YL(s) = 1/sL и источника тока JL(s) = iL(0)/s (рис. 19.4, б). Аналогичные схемы строятся и для конденсатора. Они включают либо последовательно соединенные операторное сопротивление конденсатора ZC(s) = 1/sC и источник ЭДС EC(s) = uC(0)/s (рис. 19.4, в), либо параллельно соединенные проводимость YC(s) = sC и источник тока JC(s) = CuC(0) (рис. 19.4, г).
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1202)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |