Тема: «Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры»
Задание.
Имеются данные за 30 последовательных периодов:
15,9
13,5
16,9
14,5
17,9
15,5
18,9
16,5
19,9
17,5
20,9
18,5
21,9
19,5
22,9
20,5
24,2
35,3
21,8
25,4
36,5
Требуется: рассчитать коэффициенты автокорреляции до максимально возможного уровня; построить автокорреляционную функцию; сделать выводы о структуре ряда; предложить модель авторегрессии для описания ряда.
Решение.
Для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 1-го порядка r1 составим таблицу 6.2.1.
Таблица 6.2.1
15,9
15,9
3,362069
-7,4931
11,30350773
56,14659929
-25,19233056
13,5
-10,1379
3,606897
102,7776457
13,00970273
-36,56646849
16,9
13,5
-6,73793
-9,8931
45,39971463
97,87349584
66,65904875
16,9
4,362069
-6,4931
19,02764566
42,16039239
-28,32336504
14,5
-9,13793
4,606897
83,50178359
21,22349584
-42,09750297
17,9
14,5
-5,73793
-8,8931
32,92385256
79,08728894
51,02801427
17,9
5,362069
-5,4931
28,75178359
30,17418549
-29,45439952
15,5
-8,13793
5,606897
66,22592152
31,43728894
-45,62853746
18,9
15,5
-4,73793
-7,8931
22,44799049
62,30108205
37,39697979
18,9
6,362069
-4,4931
40,47592152
20,1879786
-28,58543401
16,5
-7,13793
6,606897
50,95005945
43,65108205
-47,15957194
19,9
16,5
-3,73793
-6,8931
13,97212842
47,51487515
25,7659453
19,9
7,362069
-3,4931
54,20005945
12,2017717
-25,71646849
17,5
-6,13793
7,606897
37,67419738
57,86487515
-46,69060642
20,9
17,5
-2,73793
-5,8931
7,49626635
34,72866825
16,13491082
20,9
8,362069
-2,4931
69,92419738
6,215564804
-20,84750297
18,5
-5,13793
8,606897
26,39833532
74,07866825
-44,2216409
21,9
18,5
-1,73793
-4,8931
3,020404281
23,94246136
8,503876338
21,9
9,362069
-1,4931
87,64833532
2,229357907
-13,97853746
19,5
-4,13793
9,606897
17,12247325
92,29246136
-39,75267539
22,9
19,5
-0,73793
-3,8931
0,544542212
15,15625446
2,872841855
22,9
10,36207
-0,4931
107,3724732
0,243151011
-5,109571938
20,5
-3,13793
10,6069
9,846611177
112,5062545
-33,28370987
24,2
20,5
0,562069
-2,8931
0,315921522
8,370047562
-1,626123662
35,3
24,2
11,66207
0,806897
136,0038526
0,651082045
9,410083234
21,8
35,3
-1,83793
11,9069
3,377990488
141,7741855
-21,8840547
25,4
21,8
1,762069
-1,5931
3,104887039
2,537978597
-2,807158145
36,5
25,4
12,86207
2,006897
165,4328181
4,027633769
25,81284185
36,5
-0,63793
13,1069
0,406956005
171,7907372
-8,361296076
cр
23,64
23,39
сум
1247,648276
1305,378621
-303,7024138
Полученное значение свидетельствует о слабой зависимости между уровнями временного ряда текущего и предшествующего периодов.
Рассчитать коэффициенты автокорреляции 2-го и последующих уровней можно путем составления аналогичной таблиц. Однако, этот процесс достаточно трудоемок. Для облегчения задачи построим линейные тренды в ППП Exel. Для этого нужно выделить соответствующий диапазон данных (например для расчета нам нужны данные у3, у4,…,у30 и у1, у2,…,у28 ), затем построить точечную диаграмму и добавить линейный тренд. При построении тренда поставить галочку у флажка «Показывать величину аппроксимации на диаграмме (R2)». Затем из полученного R2 выделить корень квадратный. Для данного примера .
Рассчитаем коэффициенты автокорреляции нескольких уровней. Максимально возможный лаг не должен превышать , то есть можно рассчитать коэффициенты автокорреляции до 7-го порядка включительно.
Для r2:
Для r3:
Для r4:
Для r5:
Для r6:
Для r7:
Итак, автокорреляционная функция имеет вид:
лаг,
-0,2379
0,2114
0,9999
0,2917
0,2572
0,9996
0,3431
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод об отсутствии в изучаемом временном ряде сильной линейной тенденции и существовании сезонных колебаний с периодом три (r3 = 0,9999 и r6 = 0,9996).
Для прогнозирования значений в будущие периоды в данном случае целесообразно предложить уравнение авторегрессии вида: .
Варианты индивидуальных заданий к лабораторной работе №5
Задание. Имеются данные за 30 последовательных периодов.
Требуется: 1)рассчитать коэффициенты автокорреляции до максимально возможного уровня; 2)построить автокорреляционную функцию; 3) сделать выводы о структуре ряда; предложить модель авторегрессии для описания ряда.
Вар
Нед
26,9
54,7
15,1
21,1
77,8
45,1
99,3
55,2
115,1
74,7
139,3
9,3
15,2
3,9
68,4
74,7
21,1
28,7
62,6
34,5
98,2
57,1
121,1
71,7
138,2
8,2
17,1
4,1
24,5
34,8
71,7
28,7
27,2
78,1
42,1
97,2
56,3
128,7
74,5
137,2
7,2
16,3
3,7
27,9
74,5
27,2
28,3
78,8
37,2
96,9
54,9
127,2
75,7
139,9
9,9
14,9
4,2
40,3
73,2
16,4
52,3
63,6
97,3
57,4
116,4
72,7
137,3
7,3
17,4
5,2
25,5
69,7
56,1
22,4
22,8
79,1
41,3
95,8
55,3
122,4
75,5
135,8
5,8
15,3
5,4
28,9
36,1
76,1
22,2
79,8
35,9
100,4
58,5
76,7
140,4
10,4
18,5
5,1
40,3
73,1
28,5
29,8
64,6
43,5
99,3
57,7
128,5
73,7
139,3
9,3
17,7
5,5
26,5
41,9
75,9
28,3
80,1
38,6
98,3
56,3
76,5
138,3
8,3
16,3
6,8
29,9
71,3
74,6
29,4
80,8
42,4
58,8
77,7
18,8
7,2
37,7
55,4
31,6
53,4
65,6
40,6
98,4
54,6
131,6
74,7
138,4
8,4
14,6
6,6
27,5
41,9
75,4
30,1
23,9
81,1
35,2
96,9
57,8
130,1
77,5
136,9
6,9
17,8
7,1
30,9
43,4
72,4
19,5
24,2
81,8
42,8
102,4
119,5
78,7
142,4
12,4
8,3
72,8
75,2
25,5
31,8
66,6
37,9
101,3
55,6
125,5
75,7
141,3
11,3
15,6
8,5
28,5
39,2
73,9
33,1
30,3
82,1
41,7
100,3
58,1
133,1
78,5
140,3
10,3
18,1
8,1
31,9
43,4
31,6
31,4
82,8
42,2
56,2
131,6
79,7
16,2
8,6
42,9
55,4
67,6
36,8
100,4
59,4
76,7
140,4
10,4
19,4
7,8
29,5
72,3
25,9
83,1
44,4
98,9
58,6
79,5
138,9
8,9
18,6
8,1
32,9
38,7
76,8
32,6
25,7
83,8
39,5
103,9
57,2
132,6
80,7
143,9
13,9
17,2
7,6
42,9
75,5
31,1
33,3
68,6
43,3
102,8
59,7
131,1
77,7
142,8
12,8
19,7
8,1
30,5
42,7
58,7
18,8
31,8
84,1
43,9
101,8
57,9
118,8
80,5
141,8
11,8
17,9
7,6
33,9
72,1
78,7
24,8
32,9
84,8
38,5
101,5
61,1
124,8
81,7
144,5
14,5
21,1
7,8
38,5
75,7
32,4
56,9
69,6
46,1
101,9
60,3
132,4
78,7
141,9
11,9
20,3
7,4
31,5
42,7
78,5
30,9
27,4
85,1
41,2
100,4
58,9
130,9
81,5
140,4
10,4
18,9
7,9
35,2
44,1
77,2
20,2
25,4
86,1
103,6
61,4
120,2
143,6
13,6
21,4
9,2
46,3
73,5
61,7
26,2
70,9
46,9
102,5
60,9
126,2
142,5
12,5
20,9
9,2
32,8
39,9
81,7
33,8
31,5
86,4
41,5
101,5
64,1
133,8
82,8
141,5
11,5
24,1
8,8
36,4
44,1
78,7
32,3
32,6
87,3
49,1
101,2
63,3
132,3
84,2
144,2
14,2
23,3
9,3
47,5
43,8
81,5
19,9
56,6
72,1
44,2
101,6
61,9
119,9
81,2
141,6
11,6
21,9
8,7
73,2
80,2
25,9
27,1
87,6
100,1
64,4
125,9
140,1
10,1
24,4
8,9
Вар
Нед
19,1
46,8
65,6
18,1
25,3
93,4
54,1
119,2
66,2
138,1
89,6
167,2
11,2
18,2
4,7
32,4
82,1
89,6
25,3
34,4
75,1
41,4
117,8
68,5
145,3
86,1
165,8
9,8
20,5
4,9
16,2
41,8
86,1
34,4
32,6
93,7
50,5
116,6
67,6
154,4
89,4
164,6
8,6
19,6
4,4
20,3
46,8
89,4
32,6
34,1
94,6
44,6
116,3
65,9
152,6
90,8
167,9
11,9
17,9
5,1
33,6
48,4
87,8
19,7
62,8
76,3
49,2
116,8
68,9
139,7
87,2
164,8
8,8
20,9
6,2
17,4
83,6
67,3
26,9
27,4
94,9
49,6
115,1
66,4
146,9
90,6
163,1
7,1
18,4
6,5
21,5
43,3
91,3
36,1
26,6
95,8
43,1
120,5
70,2
156,1
92,1
168,5
12,5
22,2
6,1
34,8
48,4
87,7
34,2
35,8
77,5
52,2
119,2
69,2
154,2
88,4
167,2
11,2
21,2
6,6
18,6
50,3
91,1
21,6
34,1
96,1
46,3
118,1
67,6
141,6
91,8
10,1
19,6
8,2
22,7
85,6
89,5
28,8
35,3
97,1
50,9
117,6
70,6
148,8
93,2
169,2
13,2
22,6
8,6
36,1
45,2
66,5
37,9
64,1
78,7
48,7
118,1
65,5
157,9
89,6
166,1
10,1
17,5
7,9
19,8
50,3
90,5
36,1
28,7
97,3
42,2
116,3
69,4
156,1
93,1
164,3
8,3
21,4
8,5
23,9
52,1
86,9
23,4
29,1
98,2
51,4
122,9
68,4
143,4
94,4
170,9
14,9
20,4
10,1
37,2
87,4
90,2
30,6
38,2
79,9
45,5
121,6
66,7
150,6
90,8
169,6
13,6
18,7
10,2
21,1
47,1
88,7
39,7
36,4
98,5
50,1
120,4
69,7
159,7
94,2
168,4
12,4
21,7
9,7
25,1
52,1
68,4
37,9
37,7
99,4
50,6
120,1
67,4
157,9
95,6
171,6
15,6
19,4
10,3
38,4
51,5
92,4
22,8
66,5
81,1
44,2
120,5
71,3
142,8
92,1
168,5
12,5
23,3
9,4
22,2
86,8
88,8
30,1
31,1
99,7
53,3
118,7
70,3
150,1
95,4
166,7
10,7
22,3
9,7
26,3
46,4
92,2
39,1
30,8
100,6
47,4
124,7
68,6
159,1
96,8
172,7
16,7
20,6
9,1
39,6
51,5
90,6
37,3
40,1
82,3
52,1
123,4
71,6
157,3
93,2
171,4
15,4
23,6
9,7
23,4
51,2
70,4
22,6
38,2
100,9
52,7
122,2
69,5
142,6
96,6
170,2
14,2
21,5
9,1
27,5
86,5
94,4
29,8
39,5
101,8
46,2
121,8
73,3
149,8
98,1
173,4
17,4
25,3
9,4
40,8
46,2
90,8
38,9
68,3
83,5
55,3
122,3
72,4
158,9
94,4
170,3
14,3
24,4
8,9
24,6
51,2
94,2
37,1
32,9
102,1
49,4
120,5
70,7
157,1
97,8
168,5
12,5
22,7
9,5
29,1
52,9
92,6
24,2
30,5
103,3
54,1
124,3
73,7
144,2
99,6
172,3
16,3
25,7
11,1
42,4
88,2
74,1
31,4
39,6
85,1
56,3
123,1
73,1
151,4
96,1
171,1
15,1
25,1
11,1
26,2
47,9
98,1
40,6
37,8
103,7
49,8
121,8
76,9
160,6
99,4
169,8
13,8
28,9
10,6
30,5
52,9
94,4
38,8
39,1
104,8
58,9
121,4
158,8
101,1
173,1
17,1
28,1
11,2
43,8
52,6
97,8
23,9
67,9
86,5
53,1
121,9
74,3
143,9
97,4
169,9
13,9
26,3
10,4
27,6
87,8
96,2
31,1
32,5
105,1
57,6
120,1
77,3
151,1
100,8
168,1
12,1
29,3
10,7
7. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона.
Краткая теория.
Рассмотрим уравнение регрессии вида:
,
где -число независимых переменных модели.
Для каждого момента (периода) времени значение компоненты определяется как: или .
Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае говорят об автокорреляции остатков.
Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами:
1) Наличие ошибок в измерениях исходных данных.
2) Ошибка в выборе модели: модель не включает факторы, оказывающие существенное воздействие на результат (фактор времени или некоторые лаговые переменные).
От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуацию, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели (например, для нелинейной тенденции использовано линейное уравнение). В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.
Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:
1) Построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.
2) Использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины:
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется так:
,
где , .
Следующее соотношение связывает критерий Дарбина-Уотсона с коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:
.
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция и , то . Если автокорреляция отсутствует, то , а . Следовательно, .
Алгоритм выявления автокорреляции на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблицам определяются критические значения статистики Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям промежуток разбивается на пять отрезков:
1. Если статистика Дарбина – Уотсона , то отклоняется и принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции в остатках.
2. Если , то отклоняется и принимается гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции в остатках.
3. Если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках принимается.
4. Если или , то гипотезу нельзя ни принять, ни отвергнуть.
Уравнение можно использовать для анализа и прогноза только в случае отсутствия в нем автокорреляции в остатках.
Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дабина-Уотсона:
1) он неприменим к моделям авторегрессии, т.е. моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака;
2) выявляет автокорреляцию остатков только первого порядка;
3) дает достоверные результаты только для больших выборок.