Поиск Пифагоровых троек
(1)
Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число и Х > У > Z.
, уравнение представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения (2)
Можно составить три системы уравнений:
И по порядку начинаем рассматривать все три варианта. Заранее составим заготовку для их решения.
Откуда следует
(3)
Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.
После соответствующих преобразований будет
Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют. Простой перебор значений m даёт следующие результаты: - при m=2 , тогда - при m=7 , тогда б) Система (б) после сокращений примет вид
После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:
откуда
При m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4). Из (Х-У)(Х+У)=Z2 получаем, систему уравнений (4)
Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.
В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют. Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт. Возьмём Z=15 Z2=225 225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25 Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения . Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три Х=13, У=12, Z=5 Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять Х=5, У=4, Z=3 Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный результат, ибо рассматривается по условию У > Z.
Возьмём Z=27 Z2=729
729=1х729; 3х243; 9х81 Расчёт показывает Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три Х=41, У=40, Z=9; Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять Х=5, У=4, Z=3. Возьмём Z=35 Z2=1225
1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49. Х = 125 (25), 91 (13), 37 У = 120 (24), 84 (12), 12 Z = 35 (7), 35 (5), 35
И последний раз в качестве примера Возьмём Z=39 Z2=1521
1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117. Х = 255 (85), 89, 65 У = 252 (84), 80, 52 Z = 39 (13), 39, 39
К сожалению системы пока не вижу. в) После преобразований получается:
И формула для Z.
Рассмотрим следующий вариант. От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z, а следовательно и < .
Получается девять систем уравнений.
И после подстановки в эти девять систем значений из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.
И далее, - все девять систем надо решить.
г) - нет решения в целых числах при любых m. д) е) , при m=2, У=8;
Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений
64=1х64; 2х32; 4х16.
Из соотношения 2х32, получаем
т.е.
Система
Даёт значения
ж) - нет корней в целых числах. з) , при m=2, У=12 и т.д.
Разберём до конца У=12 и соответственно У2=144. Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения
144=2х72; 4х36; 6х24; 8х18.
Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У2 получим следующие значения Х, У, Z.
и) - нет корней в целых числах. к) - нет корней в целых числах. л) - нет корней в целых числах. м) - нет корней в целых числах.
Рассмотрим следующий вариант: - пусть все три числа чётные и Х>У>Z, как и > > . Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 22 уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.
Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения
Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).
н) и преобразуя – Z=2m, получились все чётные числа при m ≥1. В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.
п) - то же выражение, что и в (н). р)
После упрощения.
При m=2, 3 значения троек будут
При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (208)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |