Простые трансцендентные расширения.
Каждое простое трансцендентное расширение поля D, как мы знаем, эквивалентно полю частных D(x)кольца многочленов D[x]. Поэтому мы изучим это поле частных W = D(x). Элементами поля W служат рациональные функции h = f(x)/g(x). Это представление можно считать несократимым (f и g взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов f ( x ) и g (х) называется степенью функции h. Теорема. Каждый отличный от константы элемент h степени п трансцендентен над D и поле D(x) — алгебраическое расширение поля D(h) степени п. Доказательство. Представление h= f (х)/ g (х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению g(x) × h - f(x)=0 с коэффициентами из D(h). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и ak был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициентом многочлена g ( x ), а bk — ненулевым коэффициентом многочлена f ( x ) , то должно было бы иметь место равенство ak h - bk = 0 откуда h = bk/ak =const, что противоречит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над D(h). Если бы элемент h был алгебраическим над D, то и х был бы алгебраическим над D, что, однако, не так. Следовательно, элемент h трансцендентен над D. Элемент х является корнем многочлена степени n g(z) h - f(z) в кольце D(h)(z).Этот многочлен неразложим в D(h)[z], потому что иначе он был бы разложим п в кольце D[h, z], и, так как он линеен по h, один из множителей должен был бы зависеть не от h, а лишь от z. Но такого множителя не может быть, потому что g ( z ) и f ( z ) взаимно просты. Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п над полем D(h). Отсюда следует утверждение о том, что (D(x) : D(h)) = n Для дальнейшего отметим, что многочлен g(z) h - f(z) не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в D[z]). Это утверждение остается верным, когда h заменяется своим значением f (х)/ g (х) и умножается на знаменатель g (х) тем самым многочлен g(z)f(x) - f(z)g(x)
кольца D[x, z] не имеет множителей, зависящих только от z. Из доказанной теоремы вытекают три следствия. 1. Степень функции h — f (х)/ g (х) зависит лишь от полей D(h) и D(x), а не от того или иного выбора порождающего элемента х. 2. Равенство Д (h) = D(х)имеет место тогда и только тогда, когда h имеет степень 1, т. е. является дробно-линейной функцией. Это означает: порождающим элементом поля, кроме элемента х, может служить любая дробно-линейная функция от x и только такая функция. 3. Любой автоморфизм поля D(х), оставляющий на месте каждый элемент поля D, должен переводить элемент x в какой-либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится в какой-либо порождающий элемент х = ( ax + b )/( cx + d ) и каждая функция j(х) — в функцию j(х), то получается автоморфизм, при котором все элементы из D остаются на месте. Следовательно, Все автоморфизмы поля D ( x ) над полем D являются дробно-линейными подстановками x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0. Важной для некоторых геометрических исследований является Теорема Люрота. Каждое промежуточное поле S , для которого D Ì S Í D ( x ), является простым трансцендентным расширением: S = D ( q ). Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над S, потому что если h — любой элемент из S не принадлежащий полю D, то, как было показано, элемент х является алгебраическим над D(h) и тем более алгебраическим над S. Пусть неразложимый в кольце многочленов S[z] многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем x имеет вид f0(z) = zn+a1zn-1+…+an. (1) Выясним строение этого многочлена. Элементы ai являются рациональными функциями от x. С помощью умножения на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получить многочлен относительно x с содержанием 1: f( x, z) =b0(x)zn+b1 (x)zn-1+…+bn(x). Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по z — через п. Коэффициенты a i = b i / b 0 из (1) не могут все быть независимыми от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над D; поэтому один из них, скажем, q = a i = bi(x)/ b0(x), должен фактически зависеть от х;запишем его в несократимом виде: q = g(x)/h(x) Степени многочленов g (х) и h (х) не превосходят т. Многочлен g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z) (не являющийся тождественным нулем) имеет корень z = x , апотому он делится на f 0 ( z ) в кольце S[z]. Если перейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х многочленам с содержанием 1, то отношение делимости сохранится, и мы получим h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z). Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосходящую т. Но справа уже многочлен f имеет степень т; следовательно, степень левой части в точности равна т и q (х, z ) не зависит от х. Однако зависящий лишь от z множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому q (х, z ) является константой: h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z). Так как присутствие константы q роли не играет, строение многочлена f (х, z ) описано полностью. Степень многочлена f (х, z ) по х равна т следовательно (по соображениям симметрии), и степень по z равна т, такчто m = п. По меньшей мере одна из степеней многочленов g ( x ) и h (х) должна фактически достигать значения m , следовательно, и функция q должна иметь степень т по х. Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство ( D (х): D ( q )) = т, а с другой — равенство ( D ( x ): S ) = m ; то, поскольку S содержит D(q), (S: D(q)) =1, S = D(q).
Заключение. В данной курсовой работе рассмотрены основные алгебраические расширения полей, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую поля играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. В курсовой работе были рассмотрены следующие виды расширений числового поля P: Ø Простое алгебраическое расширение поля. Ø Составное алгебраическое расширение поля. Ø Сепарабельные и несепарабельные расширения. Ø Бесконечные расширения полей. Анализируя работу можно сделать некоторые выводы. Из рассмотренных в первых двух частях расширений, таких как: 1) простые алгебраические расширения; 2) конечные расширения; 3) составные алгебраические расширения. Следует, что все эти виды расширений совпадают и, в частности, исчерпываются простыми алгебраическими расширениями поля P.
Литература 1. Л.Я. Куликов. Алгебра и теория чисел.— М.: Высш. Школа,1979.—528-538с. 2. Б.Л. Ван-дер-Варден. Алгебра.— М.,1976 — 138-151с.,158-167с.,244-253с. 3. Э.Ф. Шмигирев, С.В. Игнатович. Теория многочленов.— Мозырь 2002.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (234)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |