В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.
Доказательство теоремы(3). Через
обозначим циклическую силовскую
-подгруппу в
. Порядки
и
взаимно просты, поэтому в
каждая субинвариантная подгруппа факторизуема. Фактор-группа
удовлетворяет условию теоремы(5). Так как
, то при
по индукции фактор-группа
изоморфна одной из групп, перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что
.
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Подгруппа
неразрешима и является произведением изоморфных простых групп. Порядок
делится на
, и силовская
-подгруппа в
--- циклическая, поэтому
--- простая группа.
Предположим, что в
есть еще одна минимальная инвариантная подгруппа
. Тогда
. Но силовские
-подгруппы
и
содержатся в циклической
-группе
, поэтому
. Следовательно,
--- единственная в
минимальная инвариантная подгруппа.
Централизатор
подгруппы
инвариантен в
, и
. Из единственности
следует, что
, поэтому
изоморфна группе автоморфизмов
.
Порядок простой группы
делится в точности на три простых числа и силовская
-подгруппа в
циклическая. Поэтому
изоморфна
, где
, 7, 8, 9 или 17,
,
,
[??]. Кроме того,
--- бипримарная холловская подгруппа в
. В группах
,
,
и
нет бипримарных холловских подгрупп (см. [??] и лемму (??) настоящей работы).
Если
изоморфна
,
или 7, то
и
имеет порядок 2. Поэтому либо
, либо
,
или 7. Группа
допускает единственную факторизацию, а именно
. Группа
допускает только две факторизации с взаимно простыми порядками факторов:
и
.
Допустим, что
--- собственная в
подгруппа. Если
, то
,
. Так как
, то
--- подгруппа индекса 2 в
, а
. Подгруппа
имеет единичный центр, поэтому централизатор
в
имеет порядок 1 или 2. В первом случае
и
из пункта 4) теоремы (??). Во втором случае
и силовская 2-подгруппа в
) должна быть абелевой, что невозможно. Таким образом, если
, то
, а
.
Пусть теперь
. Если
, то индекс
в
равен 2, а так как
--- совершенная группа, то
. Но это противоречит тому, что в
силовская 2-группа диэдральная. Поэтому для
одна возможность:
. Но тогда
, а
, т. е. для
возможна единственная факторизация, указанная в пункте 5).
Теперь рассмотрим случай, когда
. Эта группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы. Пусть
. Так как
--- подгруппа индекса 3 в
, то
. Причем
, а
. Но тогда
,а
--- силовская 3-подгруппа из
.
Осталось рассмотреть случай, когда
. Так как индекс
в группе автоморфизмов
равен 2, то либо
, либо
. Но в
нет подгрупп индекса 13.
Применяя лемму (??), заключаем, что
из пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана полностью.
Следствие Пусть группа
является произведением бипримарной подгруппы
с неединичной циклической силовской подгруппой
и примарной подгруппы
. Тогда, если порядок
не равен 3 или 7, то
разрешима.
Доказательство. Пусть
--- контрпример минимального порядка. Так как фактор-группа
неразрешима, то из теоремы 2 следует, что она изоморфна
, где
, 7 или 8;
,
или 7;
. Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
или 7,
.
Пусть
--- минимальная разрешимая инвариантная в
подгруппа. Ясно, что
есть
-группа, а так как
циклическая, то
порядка
. Централизатор
подгруппы
инвариантен в
, поэтому
. Кроме того,
. Если
, то
разрешима по индукции, a
примарна или бипримарна, т. е. разрешима и
, противоречие. Следовательно,
, и
содержится в центре
группы
.
Пусть
--- коммутант группы
. По [??] пересечение
равно 1. Значит,
не содержится в
. Из цикличности
следует, что подгруппа
имеет порядок, не делящийся на
, т. е.
разрешима. Теперь и
разрешима, противоречие. Следствие доказано.
Группы Шмидта и
-квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова [??] и М. И. Кравчука [??].