Уравнение колебаний струны.
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов.
дневной формы обучения Специальность 010100 „Математика” Прокофьевой Я. К. Студенческий билет № 95035
техн. наук Позин П.А.
Сочи, 2000 г. СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………..……3 Глава 1. Уравнения гиперболического типа. §1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5 1.1.1. Уравнение колебаний струны..…………………………………………5 1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….………………8 §1.2. Метод разделения переменных ……………………………………………..10 1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10 Глава 2. Уравнения параболического типа. §2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа………………..17 2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.……………………….17 2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19 §2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23 Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. §3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29 Заключение………………………………………………………………………….40 Литература…………………………………………………………………………..41
ВВЕДЕНИЕ Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера. Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений. Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование. Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов. Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. Уравнение колебаний струны. В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией
Рис. 1.1. Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости Рассмотрим элемент струны
Рис. 1.2. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы (здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках). Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть
Сокращая на
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией
Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями. Замечание. В частности, может быть
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (335)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |