Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие
. Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если
- конгруэнция на алгебре
, то
- класс эквивалентности алгебры
по конгруэнции
,
- факторалгебра алгебры
по конгруэнции
. Если
и
- конгруэнции на алгебре
,
, то конгруэнцию
на алгебре
назовем фактором на
. Очевидно, что
тогда и только тогда, когда
.
или
и
или
- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры
.
Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1. Пусть
и
- конгруэнции на алгебре
. Тогда
централизует
(записывается:
), если на
существует такая конгруэнция
, что:
1) из
всегда следует
;
2) для любого элемента
всегда выполняется
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image150.png)
3) если
, то
.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть
. Тогда:
существует единственная конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1;
;
если
, то
.
Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции
на алгебре
существует такая единственная наибольшая конгруэнция
, что
. Эту конгруэнцию
будем называть централизатором конгруэнции
в
и обозначать
.
Лемма 2.2. Пусть
- конгруэнции на алгебре
,
,
,
. Тогда справедливы следующие утверждения:
;
, где
;
если,
, либо
, либо
, то всегда
;
из
всегда следует
.
Доказательство. 1). Очевидно, что
- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1
.
2).
- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. Значит,
.
3). Пусть
. Тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image228.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image230.png)
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор
такой, что
, для любых элементов
. Тогда получим
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image238.png)
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть
. Тогда справедливы следующие соотношения:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image242.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image244.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image246.png)
Следовательно,
, где
- мальцевский оператор. Тогда
, т.е.
. Так как
и
, то
. Таким образом
. Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры
, содержащая конгруэнцию
, является конгруэнцией на
.
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть
. Тогда для любой конгруэнции
на ![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image112.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image272.png)
Доказательство. Обозначим
и определим на алгебре
бинарное отношение
следующим образом:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image280.png)
тогда и только тогда, когда
, где
,
. Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что
- конгруэнция на алгебре
, причем
.
Пусть
, т.е.
,
. Тогда
и, значит,
.
Пусть, наконец, имеет место
и
. Тогда справедливы следующие соотношения:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image306.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image308.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image310.png)
Применяя мальцевский оператор
к этим трем соотношениям, получаем:
. Из леммы 2.2 следует, что
. Так как
и
, то
. Значит,
. Но
, следовательно,
. Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть
и
- конгруэнции на алгебре
,
и
- изоморфизм, определенный на
. Тогда для любого элемента
отображение
определяет изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором
. В частности,
.
Доказательство. Очевидно, что
- изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором конгруэнции
,
изоморфны соответственно конгруэнциям
и
. Так как
, то определена конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм
алгебры
на алгебру
индуцирует в свою очередь изоморфизм
алгебры
на алгебру
такой, что
для любых элементов
и
, принадлежащих
. Но тогда легко проверить, что
- конгруэнция на алгебре
изоморфная конгруэнции
. Это и означает, что
. Лемма доказана.
Если
и
- факторы на алгебре
такие, что
, то конгруэнцию
обозначим через
и назовем централизатором фактора
в
.
Напомним, что факторы
и
на алгебре
называются перспективными, если либо
и
, либо
и
.
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1. Пусть
- конгруэнции на алгебре
. Тогда:
если
, то
;
если
, то
;
;
если
,
и факторы
,
перспективны, то
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image445.png)
если
- конгруэнции на
и
, то
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image455.png)
Доказательство. 1). Так как конгруэнция
централизует любую конгруэнцию и
, то
.
2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что
, а в силу леммы 2.4 получаем, что
.
Пусть
- изоморфизм
. Обозначим
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image471.png)
По лемме 2.5
, а по определению
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image475.png)
Следовательно,
.
3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций
и
на алгебре
имеет место равенство:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image484.png)
Покажем вначале, что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image486.png)
Обозначим
. Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре
существует такая конгруэнция
, что выполняются следующие свойства:
а) если
, то
;
б) для любого элемента
,
;
в) если
и
, то
.
Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image512.png)
тогда и только тогда, когда
и
,
. Покажем, что
- конгруэнция на
. Пусть
,
. Тогда
и
,
. Так как
- конгруэнция, то для любой
-арной операции
имеем:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image539.png)
Очевидно, что (
,
и
,
. Следовательно,
. Очевидно, что для любой пары
. Значит,
. Итак, по лемме 2.3,
- конгруэнция на
. Покажем теперь, что
удовлетворяет определению 2.1, т.е.
централизует
.
Пусть
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image561.png)
Тогда
и
. Так как
,
и
, то
. Следовательно,
удовлетворяет определению 2.1.
Если
, то
, значит,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image579.png)
Пусть, наконец, имеет место (1) и
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image581.png)
Тогда
. Так как
и
, то
, следовательно,
. Из (2) следует, что
, а по условию
. Значит,
и поэтому
. Тем самым показано, что конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1, т.е.
централизует
. Докажем обратное включение. Пусть
. Тогда на алгебре
определена конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image613.png)
тогда и только тогда, когда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image615.png)
и
,
. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
- конгруэнция на алгебре
. Заметим, что из доказанного включения
следует, что
. Покажем поэтому, что
централизует
. Так как
,
и
, то
, т.е.
удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если
, то
, следовательно,
.
Пусть имеет место (3) и
. Так как
,
, то
и
. Из (4) следует, что
, следовательно,
, т.е.
. На основании леммы 2.2 заключаем, что
. Следовательно,
. Но так как
, то
, т.е.
.
4) Обозначим
. Пусть
и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение
на
следующим образом
тогда и только тогда, когда
. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что
. Теорема доказана.
Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
Мультикольцо
Согласно [2] алгебра
сигнатуры
называется мультикольцом,если алгебра
-группа(не обязательно абелева).Все операции из
имеют ненулевые арности и для любой
-арной операции
и любых элементов
имеет место
=
,для любого
. Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной
-группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image699.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image701.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image703.png)
где
,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу
.
Докажем,например,первое равенство.
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image709.png)
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image711.png)
получаем требуемое равенство.
Определение. Подалгебра
мультикольца
называется идеалом [9],если
-нормальная подгруппа группы
и для любой
-арной операции
, произвольного
и любых
,
имеет место
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image728.png)
В частности,если
-нульарная или унарная операция,то это означает,что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image731.png)
Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема 3.1 [2] Пусть
-идеал мультикольца
и
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image735.png)
Тогда
-конгуэнция на
и любая конгруэнция на
имеет такой вид для подходящего идеала
.
Доказательство.
Так как
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image742.png)
то
. Покажем,что
-подалгебра алгебры
.Проверим вначале замкнутость
относительно групповых операций. Пусть
, т.е.
. Тогда в силу того,что
,получаем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image756.png)
т.е. ![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image758.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image760.png)
т.е.
. Пусть теперь
-n-арная операция и
,
Так как
-идеал,то получаем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image771.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image773.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image775.png)
т.е.
. Теперь из леммы [8] следует,что
-конгруэнция на
. Обратно,пусть
-конгруэнция на
. Положим
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image783.png)
Из [8] следует,что
-нормальная подгруппа группы
. Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что
-идеал мультикольца
. Теорема доказана.
Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца
изоморфна решетке его конгруэнций.
Определение 3.3 [3].Пусть
-идеал мультикольца
.Тогда централизатором
в
называется наибольший идеал
в
такой,что для любого
и любого
выполняются следующие условия:
1)
;
2) для любой
-арной операции
,любых различных
,произвольных
справедливо
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image810.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image812.png)
Теорема 3.4. Пусть
и
-идеалы мультикольца
и
. Тогда
и
индуцируют на
соответственно конгруэнции
и
, где
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image830.png)
тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image832.png)
Доказательство :
Определим бинарное отношение
на
следующим образом
тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы
и
,что справедливы равенства
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image844.png)
Очевидно,что
-отношенме эквивалентности на
, удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]
Пусть теперь
-
-арная операция и
Тогда
и ![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image854.png)
для любых
Следовательно,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image858.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image862.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image864.png)
Подставляя в правую часть последнего равенства значения
и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы
и
,равны нулю
, получаем в правой части равенства выражение
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image878.png)
Так как
-идеал,то
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image881.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image883.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image885.png)
Итак,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071370992203.files/image887.png)
тогда
.
Теорема 3.5 Пусть
и
-идеалы мультикольца
,
,
-конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и
.Тогда
.
Доказательство : Пусть
-конгруэнции мультикольца
2019-07-03 |
179 |
Обсуждений (0) |
Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
0.00 из
5.00
0
оценок
|
|