Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:
Рассмотрим функцию
. Эта функция положительна всюду, кроме точки
, где она обращается в нуль. В пространстве переменных
уравнение
определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости
представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое
. Построим на плоскости
круг
радиуса
. Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга
. Построим другой круг
целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410357282.files/image164.png)
Пусть начальная точка
лежит внутри
.
Рассмотрим функцию двух переменных
. Легко видеть, что если вместо
подставить решение системы , то полученная таким образом, функция от
будет представлять собой полную производную функции
вдоль траектории решения системы . Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в
, неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть
, так как иначе между
и значением
, при котором она попадет на границу
, найдется значение
, для которого
, поскольку
. То, что ни одна траектория, начинающаяся в
, не покидает ни при одном
круг
, означает устойчивость тривиального решения.
Итак, мы должны проверить знак
вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого
нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция
была неположительной как функция двух независимых переменных
по крайней мере в некоторой окрестности
. Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку
всюду на плоскости
, а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция
и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки
, где она обращается в нуль, а выражение
было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы .
Все дальнейшие построения будем вести в некоторой
-окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности
задается неравенством
,
. Функция
(или короче
) называется положительно определенной в
, если
в
, причем
тогда и только тогда, когда
.
Приведем ряд утверждений, показывающих применение функций Ляпунова .