Понятие сингулярного интеграла
Федеральное агентство по образованию Государственное муниципальное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ) Математический факультет Кафедра математического анализа и методики преподавания математики Выпускная квалификационная работа Сингулярные интегралы. Выполнила: студентка V курса математического факультета Сколова Ирина Юрьевна ____________________ Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Гукасов Артур Константинович ____________________ Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент Подгорная Ирина Иссаковна ____________________ Допущена к защите в ГАК Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В. « » _______________ Декан факультета ___________________ Варанкина В. И. « » _______________ Киров 2005 Оглавление Введение………………………………………………………………………...с. 3 §1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6 §2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11 §3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18 §4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23 Литература……………………………………………………………………...с. 27
Введение Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье. Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции. В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы. Определение.Если в точке x будет Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция Если, в частности, Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры. Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E( Предел отношения Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε>0 отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов
то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна. Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной, если Определение. Система функций Определение. Пусть Ряд Понятие сингулярного интеграла Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера. Рассмотрим функцию Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) ( Докажем, что во всякой точке x (0<x<1), в которой функция f ( t ) непрерывна, будет Для этого прежде всего отметим, что при
Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при Возьмем произвольное
Интеграл
В интеграле
где так что при достаточно больших n будет Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции и, в силу (4), почти равен f (x). Функция Определение.Пусть функция
Определение. Интеграл вида В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла f (t) в точке x. Так как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на величине Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [ a , b ] задана последовательность измеримых функций и если при всяком c ( то, какова бы ни была суммируемая на [ a , b ] функция f (t), справедливо равенство Доказательство. Если Рассмотрим непрерывную функцию f (t), и для наперед заданного Тогда Но так что (7) доказано для непрерывной функции f ( t ). Пусть f (t)измеримая ограниченная функция Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что Тогда Но Интеграл что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции. Пусть f (t) произвольная суммируемая функция. Возьмем ε>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого измеримого множества Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что Можно считать, что на множестве Тогда Но Интеграл же Пример. Пусть Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [ a , b ] функции f (t) будет В частности, коэффициенты Фурье Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [ a , b ] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (649)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |