Фундаментальные законы теплопередачи
Введение
Нестационарные тепловые процессы в электрических машинах имеют место при их эксплуатации. Ими сопровождаются режимы пуска, отключения, торможения, изменения нагрузки и частоты вращения машин. Большое значение процессы нестационарного нагрева имеют при перегрузках по току и напряжению, при частых и затяжных пусках двигателей, а так же при работе их в заторможенном состоянии. Особенностью нестационарных тепловых режимов, или тепловых переходных процессов, в электрических машинах является их инерционность, проявляющаяся в значительном отставании изменений температуры от электромеханических переходных процессов. Благодаря этому машины могут выдерживать в течение некоторого времени воздействие перегрузок, токов короткого замыкания и других ненормальных условий. Учет тепловой инерционности в расчетах нестационарного нагрева является обязательным условием достоверности результатов. Повышенная температура электрических машин влияет на долговечность изоляции обмоток, на работу подшипников и др. Повышенная температура обмоток вызывает тепловое старение изоляции, приводящее к необратимому снижению электрической и механической прочности. Правило Монтзингера гласит, что повышение температуры на 8–100 С сокращает срок службы изоляции в два раза. Основной целью данной работы является создание тепловой модели для выбора асинхронного двигателя по нагреву. Данная модель является упрощенным представлением процессов нагрева и охлаждения двигателя. Суть модели заключается в том, что, задавая характер изменения нагрузки во времени на входе, на выходе имеем кривую изменения температуры меди обмоток или стали статора.
Обзор литературы
Фундаментальные законы теплопередачи
В основе математической модели нагрева двигателя лежит основной закон теплопроводности [1,2,3,4,5], сформулированный Фурье в итоге анализа экспериментальных данных. Данный закон устанавливает количественную связь между тепловым потоком и разностью температур в двух точках тела: количество переданной теплоты пропорционально градиенту температуры, времени и площади сечения F, перпендикулярного к направлению распространения теплоты. Если количество переданной теплоты отнести к единице времени, то сформулированная зависимость выразится следующим образом:
, (1.1)
где р – количество переданной теплоты, отнесенное к единице времени, то есть мощность; λ – коэффициент теплопроводности; F – площадь сечения, перпендикулярного к направлению распространения теплоты; θ – температура точек тела. Знак «минус» в (1.1) означает, что передача теплоты происходит в сторону, противоположную направлению градиента, то есть в сторону понижения температуры. Коэффициент теплопроводности λ в уравнении (1.1) является физическим параметром и характеризует способность вещества проводить теплоту.
, (1.2)
.
Аналитическое решение, полученное путем непосредственного интегрирования уравнения (1.1), дает возможность вычислить температуру в любой точке системы. Однако решение уравнения в частных производных является довольно громоздким и слишком усложняет задачу. Поэтому на практике, для упрощения решения широко используется метод конечных разностей [3]. Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенным соотношением между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций:
, (1.3)
где δ – расстояние между исследуемыми точками; Δθ – падение температуры на длине δ. Для решения задач по определению температурного поля используют дифференциальное уравнение теплопроводности [1,2,3,4], которое выводится на основе закона сохранения энергии и закона Фурье. При выводе уравнения рассматривается нестационарное трехмерное температурное поле в однородном твердом теле, с распределенными по объему источниками теплоты. В пределах рассматриваемого тела берется элементарный объем dV=dx∙dy∙dz (рисунок 1.1), достаточно малый для того, чтобы считать физические параметры в нем постоянными, а потери – равномерно распределенными и пренебречь производными выше второго порядка от температуры θ по координатам.
Рисунок 1.1 – Элементарный объем dV
Для элементарного объема dV составляется тепловой баланс за элементарный промежуток времени dt. Тепловой баланс является следствием закона сохранения энергии при допущении, что в энергетическом процессе не участвуют другие виды энергии, кроме тепловой:
, (1.4)
где dQ1 – тепловой поток, притекающий в объем dV за счет теплопроводности; dQ2 – мощность источников теплоты, действующих внутри объема; dQ – повышение внутренней энергии в объеме dV. На рисунке 1.1 показаны только тепловые потоки, направленные вдоль оси x. Поток, притекающий слева, исходя из закона Фурье:
, (1.5)
тепловой поток, проходящий через противоположную грань (с учетом изменения производной ∂θ/∂x на интервале dx): . (1.6)
Результирующий приток теплоты за единицу времени вдоль оси x:
. (1.7)
Аналогично для других координатных осей:
; . (1.8)
Суммарный тепловой поток, притекающий в объем dV за счет теплопроводности:
. (1.9)
Мощность источников теплоты, действующих внутри объема:
, (1.10)
где р0 – мощность потерь в единице объема. Изменение внутренней энергии в объеме dV:
, (1.11)
где с – удельная теплоемкость тела; ρ – плотность материала тела. Подставив (1.9), (1.10), (1.11) в (1.4) и проведя некоторые преобразования, получаем дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных:
. (1.12)
где – слагаемое, описывающее изменение теплосодержания тела; – слагаемое, обуславливающее тепловой поток, притекающий в систему за счет теплопроводности; – слагаемое, обуславливающее внутреннее тепловыделение. Рассмотрим процесс нагрева тела с собственным тепловыделением мощностью P, с поверхности S которого происходит теплоотдача конвекцией и излучением при коэффициенте теплоотдачи α [1,3,5]. Для упрощения математического описания процесса вводятся следующие допущения: 1. Тело обладает неограниченной теплопроводностью, что приводит к отсутствию градиента температуры по любому направлению в его объеме. 2. Температура окружающей среды θс неизменна, то есть окружающая среда обладает неограниченной теплоемкостью. 3. Коэффициент теплоотдачи α между поверхностью машины и окружающей средой не зависит от места и длительности протекания процесса. Уравнение теплового баланса составляется на том основании, что теплота, выделившаяся за элементарный промежуток времени dt, частично идет на изменение собственного теплосодержания тела и частично отводится в окружающую среду. В соответствии с этим уравнение теплового баланса имеет вид [1,3,5]: , (1.13)
где ΔP – выделяемые в данном объеме потери мощности; θ – температура тела; θс – температура окружающей среды; c – удельная теплоемкость; G – масса исследуемого объема тела; α – коэффициент теплоотдачи с единицы площади поверхности; F – площадь поверхности охлаждения. В правой части уравнения (1.13) первое слагаемое обуславливает повышение температуры тела, а второе – обмен теплотой с окружающей средой. После преобразования уравнение теплового баланса (1.13) принимает вид:
, (1.14)
где C=с∙G – теплоемкость тела; А=α∙F – коэффициент теплоотдачи тела.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (280)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |