В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним, что подгруппа
называется субнормальной подгруппой группы
, если существует цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image414.png)
такая, что для любого
подгруппа
нормальна в
.
Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие
-субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].
Пусть
--- непустая формация. Подгруппу
группы
называют
-субнормальной, если либо
, либо существует максимальная цепь
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image429.png)
такая, что
для всех
.
Несколько другое понятие
-субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и
-субнормальности в смысле Шеметкова.
Подгруппу
называют
-субнормальной в смысле Кегеля или
-достижимой, если существует цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image414.png)
такая, что для любого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
.
Для любой непустой формации
множество всех
-достижимых подгрупп произвольной группы
содержит множество всех субнормальных подгрупп группы
и множество всех
-субнормальных подгрупп группы
. Если же
--- непустая нильпотентная формация, то множество всех
-достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы
.
В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.
Напомним, что формация
называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:
1)
--- нормально наследственная формация;
2) любая группа
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы из
, принадлежит
.
В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.
В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не
-групп) и обобщенно субнормальных (
-субнормальных и
-достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.
Напомним, что критической группой формации
( минимальной не
-группой) называется группа, не принадлежащая
, все собственные подгруппы которой принадлежат
. Множество всех таких групп обозначают
. Через
обозначают множество всех разрешимых групп, а через
--- множество всех групп, у которых
-корадикал
разрешим.
1.1 Лемма. Пусть
--- насыщенная формация,
--- наследственная насыщенная формация. Если
и
, где
, то
.
Доказательство. Пусть
. По теореме 2.2.1,
---
-группа. Очевидно, что
. По лемме 2.2.2,
, где
---
-группа,
---
-группа и
. Так как
и
, то
. Следовательно,
---
-группа. Пусть
---
-главный фактор
. Если
---
-группа, то
-централен.
Пусть
---
-группа. По теореме 2.2.3,
. Пусть
и
--- произвольная
-абнормальная максимальная подгруппа группы
. Тогда
. Так как
, то, по теореме 2.2.4,
. Следовательно,
. Поскольку
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image548.png)
то
. Учитывая, что
, по теореме 2.2.5, имеем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image554.png)
где
--- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно
и
. Если
, то
. Отсюда и из того, что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image565.png)
следует
. А это значит, что
-централен.
Пусть
. Так как
--- насыщенная формация и
, то
. Следовательно,
---
-нормализатор группы
. В силу того, что
покрывает
, то
-централен. Следовательно,
. По теореме 2.2.4,
. Лемма доказана.
1.2 Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация. Если
---
-субнормальная подгруппа, то
--- субнормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть
---
-субнормальная подгруппа группы
. Если
, то лемма очевидна. Пусть
. Тогда
содержится в максимальной
-нормальной подгруппе
группы
. По индукции,
--- субнормальная подгруппа из
. Так как
и
--- наследственная формация, то
. Следовательно,
, значит,
. Поскольку
--- нормальная подгруппа группы
, то
--- субнормальная подгруппа
. Лемма доказана.
1.3 Лемма. Пусть
--- наследственная насыщенная формация,
---
-субнормальная подгруппа группы
такая, что
. Тогда
.
Доказательство. Пусть
. Очевидно,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image633.png)
Так как
, то по индукции
. Следовательно,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image639.png)
Отсюда, согласно лемме 2.2.6,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image641.png)
Пусть
. Тогда
--- цоколь группы
. По лемме 3.1.2,
--- субнормальная подгруппа группы
. По теореме 2.2.7,
. Следовательно,
--- нормальная подгруппа группы
. Тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image656.png)
По теореме 2.2.8,
. Отсюда следует, что
. Так как
и
--- наследственная формация, то
. Получаем
, т. е.
. Лемма доказана.
В следующих леммах приводятся основные свойства
-субнормальных подгрупп.
1.4 Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если
--- подгруппа группы
и
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа группы
;
2) если
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа группы
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
для любой подгруппы
группы
;
3) если
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
и
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа группы
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа группы
;
4) если
и
---
-субнормальные (
-достижимые) подгруппы группы
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа группы
;
5) если все композиционные факторы группы
принадлежат формации
, то каждая субнормальная подгруппа группы
-субнормальна в
;
6) если
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа группы
, то
-субнормальна (
-достижима) в
для любых
.
Доказательство. 1) Пусть
--- подгруппа группы
и
. Так как
и
--- наследственная формация, то подгруппа
является
-субнормальной подгруппой группы
. Отсюда, согласно определению
-субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image749.png)
такая, что
для всех
. Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе
существует максимальная цепь
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image756.png)
такая, что
для всех
.
А это значит, что
---
-субнормальная подгруппа группы
.
Пусть
--- подгруппа группы
, содержащая
, тогда
---
-субнормальная подгруппа группы
. А так как любая
-субнормальная подгруппа группы
является
-достижимой в
, то
---
-достижимая подгруппа группы
.
2) Пусть
---
-субнормальная подгруппа группы
. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image783.png)
такая, что для любого
.
Пусть
--- некоторая подгруппа из
. Рассмотрим цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image790.png)
Так как
и формация
наследственна, то из
следует, что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image796.png)
Теперь, ввиду изоморфизма,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image798.png)
имеем
. Значит,
. Так как
, то
. Итак,
. Отсюда, по определению,
---
-субнормальная подгруппа группы
.
Пусть
---
-достижимая подгруппа группы
. Тогда, по определению, существует цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image819.png)
такая, что для любого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
.
Пусть
--- некоторая подгруппа из
. Рассмотрим цепь подгрупп:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image831.png)
Если подгруппа
нормальна в
, то подгруппа
нормальна в
. Пусть
. Так как формация
наследственна, то из
следует, что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image844.png)
Теперь, ввиду изоморфизма,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image798.png)
имеем
. Значит,
. Так как
, то
. Итак, для каждого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
. Отсюда, по определению,
---
-достижимая подгруппа группы
.
Утверждение 3) следует непосредственно из определения
-субнормальной (
-достижимой) подгруппы.
Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5) Пусть все композиционные факторы группы
принадлежат формации
, и пусть
--- субнормальная подгруппа группы
. Тогда в группе
существует цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image878.png)
такая, что для любого
подгруппа
нормальна в
.
Согласно условию,
, отсюда следует, что
. А это значит, что подгруппа
-субнормальна в группе
.
Утверждение 6) следует непосредственно из определения
-субнормальной (
-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.
1.5 Лемма. Пусть
--- непустая формация,
и
--- подгруппы группы
, причем
нормальна в
. Тогда:
1) если
-субнормальна (
-достижима) в
, то
-субнормальна (
-достижима) в
и
-субнормальна (
-достижима) в
;
2) если
, то
-субнормальна (
-достижима) в
тогда и только тогда, когда
-субнормальна (
-достижима) в
.
Доказательство. Пусть
---
-субнормальная подгруппа группы
. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image939.png)
такая, что для любого
.
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image944.png)
Так как
, то ввиду леммы 2.2.6,
. Отсюда следует, что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image950.png)
Итак, для каждого
. Отсюда, по определению,
---
-субнормальная подгруппа группы
.
Ввиду леммы 2.2.6,
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image958.png)
Поэтому для любого
. Значит,
---
-субнормальная подгруппа группы
.
Пусть
---
-достижимая подгруппа группы
. Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image878.png)
такая, что для любого
либо
нормальна в
, либо
. Рассмотрим следующую цепь подгрупп
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7185410758948.files/image977.png)
Если подгруппа
нормальна в
, то подгруппа
нормальна в
. Пусть
. Тогда ввиду леммы 2.2.6,
. Отсюда следует, что
. Итак, для каждого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
. Отсюда, по определению,
---
-достижимая подгруппа группы
.
Ввиду леммы 2.2.6,
. Поэтому для любого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
. Значит,
---
-достижимая подгруппа группы
.
Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.