Основное свойство преобразования подобия.
Преобразование подобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости в одном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точек М, N и их образов М', N' выполняется равенство |M / N/|=k . Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x1, y1), N(x2, y2). Тогда = Образы М' и N' точек М, N имеют соответственно те же координаты (x1, y1), (x2, y2) относительно системы координат O / i / j/. Найдём:
= = = = = = , так как и . Свойства преобразования подобия. Преобразование подобия плоскости всякую прямую отображает в прямую. Преобразование подобия плоскости отображает полуплоскость с границей в полуплоскость с границей где . Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой. Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”. Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол. Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч. Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые. Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм. Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор. Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij и O / i / j/, при этом и O / ( x 0 , y 0 ), то координаты любой точки M ( x , y ) Oij и её образа M / ( x / , y / ) O / i / j / связанысоотношениями:
где (1) Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам. Замечание. При системы координат Oij и O / i / j/ одинаково ориентированы, а при противоположено ориентированы. Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при и преобразованием подобия второго рода при . Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k. Гомотетия плоскости. Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М/ по закону
. Обозначение. - гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k. Определение. Гомотетичными называются фигуры и = . 1) Гомотетичные точки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О. 2) Точки М и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0. 3) М / N/= | k|MN. 4) Гомотетия плоскости является при: k=1-тождественным преобразованием; k=-1-центральной симметрией. Формулы гомотетии с центром в начале координат:
,
Если центр гомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
,
Если введем обозначения , то получим формулы
, Основное свойство гомотетии. Для любых точек М, N и их образов , имеет место равенство:
. Доказательство. Воспользуемся равенствами:
, , , и найдём . Следствия. 1) Гомотетия с коэффициентом является преобразованием подобия с коэффициентом подобия , так как из основного свойства следует или . 2) , если k>0, и , если k<0. 3) Гомотетия плоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямую отображает в прямую, параллельные прямые - в параллельные прямые, Изменяет все расстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы. Характерные свойства гомотетии. Гомотетия плоскости имеет одну неподвижную точку – центр гомотетии. Гомотетия плоскости отображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя. Гомотетия плоскости ( ) отображает прямую, в параллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии. Гомотетия плоскости отображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, в концентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением . Всякие две неравные окружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являются концентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую.
Гомотетия плоскости является преобразованием подобия первого рода. Теорема. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения. 1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы Теорема 1.Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий. Доказательство. Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия. Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении . Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом . Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой. Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой. Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются: 1) Группа преобразований подобия первого рода; 2) Группа движений и все её подгруппы; 3) Группа гомотетий и параллельных переносов; 4) Группа гомотетий с одним и тем же центром. Метод подобия
Метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач. Этим методом решаются задачи, в которых заданы углы, отношения отрезков и лишь только одно данное условие связано с линейными размерами искомой фигуры. Фигуры, удовлетворяющей всем условиям задачи, кроме того, которое связано с размерами искомой фигуры, подобны между собой. Построив одну из них, а затем, подобрав соответствующим образом, коэффициент подобия, построим искомую фигуру. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, каждая медиана делиться этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника). Задача. Построить треугольник АВС, если даны: , отношение сторон АВ:ВС =m:n (m, n-данные отрезки) и медиана к стороне АС.[21]
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (384)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |