Математическое ожидание.
Математическим ожиданием E(x) для случайной величины x , которая может принимать значения x и только такие значения с вероятностями Р(x ) =Р , называют число, которое определяется равенством i= k i= k E(x)=∑xi·Рi, ∑ Рi=1, Рi≥0, i=1,…,k (10.1) i=1 i=1
Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1) числом
E(x)=( 1 /6)∙(1+2+3+4+5+6)=(1/6)∙21=7/2= (10.2)
Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел. Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое число n независимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х, то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство
(x(1)+x(2)+…+x(n))/n ≈ E(x) (10.3)
Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике. Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин (10.4)
тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(х ) (10.5)
Дисперсия случайной величины.
Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле D(x)=E(x–E(x)) (11.1)
Поэтому дисперсия D ( x ) случайной величины х, которая может принимать значения с вероятностями Р ,…Р определяется, как число i=k i=k j =k D(x)=∑(x –E(x)) ∙P =∑(x – ) ∙P (11.2) i=1 i=1 j=1
Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее число D(x)= =(1/6)∙((1-7/2) +(2-7/2) +(3-7/2) +(4-7/2) +(5-7/2) +(6-7/2) )=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12 (11.3)
Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных величин . Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины . Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин (11.4)
Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.
Закон больших чисел.
В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения случайной величины х, для которых выполняется условие
(12.1)
Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство
Р Р Р (12.2)
Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство. Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины . Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы (12.3) этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство Р ·Р (12.4) Так как случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии равны друг другу и все математические ожидания тоже равны друг другу . Поэтому из (12.4) получаем неравенство
Р (12.5)
Введем число ε=M /n. Тогда из (12.5) получаем неравенство
Р (12.6) Отсюда для противоположного события
(12.7)
из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева
Р (12.8)
Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:
Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа β <1 найдется такое число N, что при числе испытаний n>N, будет справедливо неравенство Р (12.9) В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству , то есть (12.10)
Это означает следующее. Какие бы числа и мы ни выбрали, если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на ε с вероятностью большей, чем β. Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с вероятностью, приближающейся к единице.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |