Уравнение неразрывности
В замкнутой изолированной системе полная масса остается постоянной, т.е. она не возникает и не исчезает сама по себе. Закон сохранения массы означает, что для любого с поверхностью изменение массы в должно равняться количеству массы протекающему через . Плотностью в точке пространства называют предел отношения массы в элементарном объеме этому объему, охватывающему точку , при стягивании его в эту точку, т.е.:
Тогда
где m - интегральный параметр, удовлетворяющий закону аддитивности, -локальный параметр. Выделим в пространстве неподвижную замкнутую поверхность ограничивающую объем . Каждой точке выделенного объема сопоставим вектор . Рис.3. Выберем на поверхности ориентированный элемент поверхности, где – вектор внешней нормали, - площадь выбранной площадки. Тогда через элемент площади входит или выходит количество массы сплошной среды , где – вектор потока массы. Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы
Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде:
В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если образует с острый угол, т.е. , то проходит через изнутри наружу, т.е. масса в убывает.
Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной форме. Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по как по параметру (поскольку не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция зависит от переменной интегрирования, получим:
Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим
где
Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим
Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем
Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.
Закон Фика Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид
где – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде
– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:
– коэффициент концентрационной диффузии, (далее будем опускать). Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком. Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим
Подставим (2.11) в (2.9), получим
В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:
Преобразуем второе слагаемое в (2.12):
Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение). Из выражения (2.13), получим
Преобразуем второе слагаемое в (2.12): Условие не сжимаемости жидкости:
Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим
Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (195)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |