Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2 P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 > порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами. Положим u = 2 p1 – 1, v = 2 p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы. u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы. Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе: P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 > Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами. Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L( H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1. P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 > Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y H | Ркy = y } к = 1, 2. Возможны следующие случаи: 1. Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0. 2. Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0. 3. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1. 4. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1. Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1 Н1┴ , Н=H2 Н2┴ Введем дополнительные обозначения : Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.) Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым. Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}. Пусть g1 = a11e1 + a12 e2 g2 = a21e1 + a22e2 e1 = b11g1 + b12g2 e2 = b21g1 + b22g2 Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда || h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1 (h1 , h2 ) = (eite1 , eile2) = ei( t- l)( e1, e2 ) = 0, то есть {h1 , h2} – ортонормированный базис. Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0. Значит в базисе {h1 , h2} матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1) (e1, e2 )= 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что a22 = - ra11 a21 = ra12 Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно a112 + a122 = 1 |a22 |2 + |a21 |2 = 0 тогда | r | = 1. Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2, Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2. Найдем b11 и b21: e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2, b11a11 + b12a12 = 1 b11a12 + b12a22 = 0 или b11a11 + b12a12 r = 1 b11a12 - b12a11 r = 0, Тогда b11 = a11. Аналогично E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2, b21a11 + b22a21= 0 b21 a12 + b22 a22 = 1, отсюда находим, что b21 = a12. Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2) Р2 = , где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1 А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = . Так как a11 a12 >0, то τ (0, 1). Тогда Р2 = . В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом Р2 = . Найдем коммутант π( P2). Пусть Т = оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда ТР1 = = Р1Т = = Следовательно b = c = 0. ТР2 = = Р2Т= = Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо. Покажем, что все эти представления неэквивалентны. Пусть τ, ν (0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b C UР2 (τ) = = Р2 (ν) U = = . Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны. Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L( H) - *-представление *-алгебры P2 . Тогда: ( i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0( p1) = 0; π0,0( p2) = 0; π1,0( p1) = 1; π1,0( p2) = 0; π0,1( p1) = 0; π0,1( p2) = 1; π1,1( p1) = 1; π1,1( p2) = 1; ( ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π( p1) , π( p2) τ (0, 1). Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π( p2) = φ (0, ).
1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.) Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н i, j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо. Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Н i, j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н i, j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма. Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х Н1 такой, что Р1Р2х = λх, где λ С. Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями
к = 1,…, n к = 1,…, n Так как х Н1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда Р1Р2х = Р1Р2 = Р1Р2 = Р1 = = Р1 = = ( ) = Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn: = j = 1,…, n Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму. Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2. Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х L, Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2х L dimL = 2, так как Н i, j = {0} (для всех i, j= 0,1). Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1≠{0}. Итак, получаем предложение. Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π. Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ( (С2 Нк)), (1.1.) где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φ i при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Н i, j , Рφк: Н → С2 Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 ( Рφк ), (1.2.) P1 = P1,0 P1,1 ( ( Iк )) (1.3) Р 2 = P0,1 P1,1 ( Iк )) (1.4) где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m). Доказательство. Пусть dimН i, j = ni, j. Сразу можем записать разложение Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- Н΄ = Нφк, (l = n - ) Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм Нφк … Нφк ≈ С2 Нк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк … Нφк )=2nк dim(С2 Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.) Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ( (С2 Нк)) Пусть πi, j – сужение π на Н i, j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi, j и πк - *-подпредставления. Учитывая кратности подпредставлений получаем π = n0,0π0,0 n0,1π0,1 n1,0π1,0 n1,1π1,1 ( nкπк) (1.5.) В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные. Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.) I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 ( Рφк) Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид P1 = P1,0 P1,1 ( ( I к )) Р 2 = P0,1 P1,1 ( I к )) Причем n1,0π1,0(р 1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р 1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (212)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |