Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
М При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение и соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движения. Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты как , и . Для описания данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:
где T - кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы. Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:
Коэффициенты являются функциями координат , и . Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где . Располагая коэффициенты по степеням и пологая для упрощения записи , получим:
Потенциальная энергия системы:
При этом учитываем, что в положении равновесия обобщенные силы также обращаются в нуль. В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения: , , , , , . Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы …, . Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4). Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:
Замечая, что а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях , и , получаем три уравнения:
Здесь , и - обобщенные силы для системы сил …, , уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия . Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат , и в положении равновесия:
причем , и . Решение системы (2.7) имеет вид:
где
. На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол мал и координаты массы m можно записать как . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
где - обобщенная сила, - коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m. Сила действует на все звенья манипулятора следовательно:
Коэффициенты в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что действует только по координате , затем только по координате и наконец только по координате , тогда в выражение (2.7) можно переписать:
таким образом , используя (2.9) находим:
Коэффициенты , и определяют податливость звеньев манипулятора по координатам , и соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:
где , и жесткости звеньев по координатам , и соответственно. Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:
Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты которой выражаются как , то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):
или:
где С - суммарная жесткость звеньев манипулятора. Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m. Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс в системе:
Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих начальных условиях:
где - скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конечную точку. Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:
где и - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий: при t = 0; и - корни характеристического уравнения:
Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:
Определим произвольные постоянные и , решая систему уравнений:
Решение системы (2.24) будет иметь вид:
если учесть (2.20) то:
подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:
где - реальная часть; - мнимая часть. Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:
Учитывая что:
имеем:
Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):
Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:
где - допустимая погрешность позиционирования. Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени переходного процесса:
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования в модели используются экспериментально полученные зависимости. В частности коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа. Таким образом, время переходного процесса, для данного типа манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (236)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |