Отношения эквивалентности и разбиения множеств
Пусть Æ. Отношение называется отношением эквивалентности (кратко: эквивалентностью) на множестве A, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Из определения следует, что e будет эквивалентностью тогда и только тогда, когда e транзитивно и является толерантностью. Пример 1.13. 1. Отношение из пункта 1 в примере 1.12 не будет транзитивным при любом (при отсутствие свойства транзитивности у t хорошо «видно» на приведенном рисунке графа ). Следовательно, при отношение t не будет эквивалентностью. При отношение t={((0),(0)),((1),(1))} является эквивалентностью на . 2. Отношение ºk из пункта 2 примера 1.12 транзитивно и, следовательно, является эквивалентностью на N (при любом kÎN). 3. Диагональ DA на произвольном множестве Æ является эквивалентностью. 4. Универсальное отношение также является эквивалентностью на любом множестве Æ. 5. Пусть L – множество всех прямых на плоскости. Рассмотрим отношение || на L, где l1||l2 означает, что прямая l1 параллельна прямой l2. Отношение || является отношением эквивалентности на L. 6. На множестве R введем отношение l, положив для произвольных . Отношение l – эквивалентность на R. Пусть Æ. Совокупность A = непустых подмножеств множества A называется разбиением множества A, если выполнены следующие условия: 1) ; 2) . Множества , называются блоками разбиения А. Пусть – эквивалентность на множестве Æ, . Множество называется e-классом элемента х. Теорема 1.8 (основная теорема об эквивалентностях). Пусть Æ. 1. Каждому отношению эквивалентности e на множестве A соответствует разбиение A ={e(х)| хÎA } этого множества. 2. Каждому разбиению A множества A соответствует эквивалентность e(A):={(x,y)ÎA´A| “х находится в одном блоке разбиения A с y”} на множестве A. 3. Указанные соответствия взаимно однозначны и взаимно обратны в том смысле, что e(A(e))=e, A(e(A))=A.ÿ Пусть A¹Æ, e – эквивалентность на A. Разбиение A(e), о котором говорилось в теореме 1.8, называется фактормножеством множества A по эквивалентности e и обозначается A/e. Пример 1.14. 1. Рассмотрим эквивалентность ºk на N при различных kÎN. Имеем: а) N/º1={{1,2,3,…}}, так как все натуральные числа при делении на 1 дают один и тот же остаток 0; б) N/º2={{1,3,5,7,…}, {2,4,6,8,…}}, так как все нечетные числа при делении на 2 дают один и тот же остаток 1, а все четные числа – остаток 0; в) N/º3={{1,4,7,10,…}, {2,5,8,11,…}, {3,6,9,12,…}}. 2. Если Æ, то A/DA={{a}|aÎA} (все DA -классы одноэлементны). 3. Если Æ, то A/A´A={A} (фактормножество множества A по универсальному отношению состоит из одного блока – самого множества A). 4. Для эквивалентности l={(x,y)ÎR´R:|x|=|y|} имеем R/l={{0}}È{{x,- x}|x>0}.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (392)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |