Операторы момента импульса и их коммутация
Вместе с модулем момента импульса 4.3.5.1. Как следует из раздела 4.3.4.4, наряду с В качестве примера найдем коммутатор
Аналогично можно получить следующие соотношения
4.3.5.2. Эти формулы полезны для отыскания возможных значений квадрата момента импульса и волновых функций 4.3.5.3. Сконструировав специально операторы сдвига состояний, можно решить и задачу о вращательных состояниях жесткого ротатора. В этом случае мы будем перемещаться от состояния к состоянию с одним и тем же значением 4.3.5.4. Для этой цели запишем, как обычно
и одновременно учтём, что справедливы операторные уравнения
Вместе с тем, как и в теории плоского ротатора
Вычтем почленно (4.70) из (4.68) и получим
а с учётом (4.67)
Таким образом, функция Y оказывается собственной функцией оператора
где В силу самосопряженности операторов квантовой механики, их собственные значения должны быть вещественными и единая физическая величина Из сопоставления (4.72) и (4.73) следует неравенство
Отсюда 4.3.5.5. Формула (4.75) содержит прозрачный смысл: квадрат момента импульса не может быть меньше квадрата одной из его проекций. Одно и то же значение модуля момента импульса, определяемое квантовым числом l, может отвечать состояниям с различными значениями проекции
т.е. 4.3.5.6. Наконец, мы подошли вплотную к решению важнейшей проблемы – связи квантового числа l со значением квадрата момента импульса и с параметром
4.3.5.7. Если в задаче об осцилляторе каждый из операторов сдвигов исследовался в паре с гамильтонианом, то в данном случае сдвиги не будут связаны с перемещением по энергетической лесенке уровней. Здесь мы будем двигаться как бы по энергетической горизонтали в пределах одного вырожденного уровня, пересчитывая состояния с общим модулем |
Подставим в (4.80) уравнения (4.78) и (4.79), затем перегруппируем слагаемые
Коммутаторы
т.е.
4.3.5.8. Исходя из формулы (4.80), произведение операторов При подстановке (4.82) и (4.83) это дает
Найдем далее результат действия операторов
4.3.5.9. Выражение (4.85) – это по-прежнему операторное уравнение на собственные значения. Оно показывает, что функции 4.3.5.10. Следовательно, действие операторов повышения и понижения на волновую функцию
Обратите внимание на то, что операторы
4.3.5.11. Напоминаем, что волновые функции
а из уравнений (4.58) и (4.70) следует
При вычитании (4.90) из (4.89) получаем операторное уравнение (4.71) с конкретным собственным значением
Целесообразно построить такую последовательность сомножителей из операторов сдвига, которая непосредственно приводила бы к ожидаемому результату (4.91). 4.3.5.12. Для этого исследуем произведение операторов вида
Подставляя коммутатор (4.66), получим
Совершенно аналогично
или при совместной записи
В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (4.92) – (4.94), с одной стороны, и уравнений (4.90) и (4.91) – с другой. 4.3.5.13. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе, удобно свести в одну таблицу 4.З. . В строках таблицы указаны левые операторы-сомножители, а в столбцах – правые. На пересечении строки и столбца находится коммутатор соответствующих операторов. Обращаем внимание читателя на антисимметричный характер таблицы коммутаторов относительно главной диагонали, т.е. элементы, одинаково расположенные по разные стороны последней отличаются только знаками. Таким образом, при изменении порядка записи операторов–сомножителей коммутатор меняет знак.
Таблица 4.3. Коммутаторы операторов момента импульса
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (678)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |