Способы вычисление интеграла Мора
Интегралы, входящие в выражение (5.5) можно вычислить аналити-чески, если известно аналитическое выражение усилий на участках пло-ской стержневой системы. Однако чаще эти интегралы вычисляются чис-ленно с использованием для этого ординаты на эпюрах внутренних уси-лий в характерных точках.
Рассмотрим способы вычисления интегралов (5.5) с помощью чис-ленного интегрирования.
I. Использование правила Верещагина
Правило используется в том случае, если одна из перемножаемых эпюр линейна, а жесткость участка постоянна. Процедура интегрирования заменяется суммой произведений: ∑∫l i M i M j dx =∑ω ⋅Yc .
0 EJEJ ii
Здесь ω - площадь одной из перемножаемых эпюр (например, M i), поло-жение центра тяжести которой известно. Очертание этой эпюры может быть произвольным. Y c – ордината с другой перемножаемой эпюры M j, взятая под центром тяжести эпюры M i. Ордината берется обязательно с линейной эпюры (рис. 5.11).
65 II. Использование формулы трапеции
Формула может быть использована для перемножения двух линейных эпюр (рис. 5.8).
Рис. 5.8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫l | M 1⋅ M 2 | dx = | 1 | ⋅ | l | ⋅ (2a1a2 + 2b1b2 + a1b2 + b1a2 ). | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| EJ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | EJ | 6 |
Учет знаков в этом выражении производится следующим образом: если перемножаются две ординаты, расположенные по одну сторону от оси, соответствующее слагаемое в формуле имеет знак плюс, если по раз-ные стороны – минус.
Формула может быть использована для перемножения трапеции с треугольником, двух треугольников и т.д. (рис. 5.9).
EJ – const
M 1 | M 3 | |||||||||||||||
a 1 | b 1 | b 1 | ||||||||||||||
a 2 | M 2 | a 2 | M 4 | |||||||||||||
l | l | |||||||||||||||
Рис. 5.9 | ||||||||||||||||
∫l | M1⋅ M 2 | dx = | 1 | ⋅ | l | ⋅ (− 2a1a2 + b1a2 ). | ∫l | M3⋅ M 4 | dx = | 1 | ⋅ | l | ⋅(− b1a2). | |||
EJ | EJ | EJ | EJ | 6 | ||||||||||||
0 | 6 | 0 |
III. Использование формулы Симпсона
Формула дает точный результат, если подынтегральная функция яв-ляется полиномом не выше третьего порядка. То есть одна из эпюр может быть квадратной параболой, а вторая имеет линейный характер (рис. 5.10).
66
l/2
M 1 | M ср = с | EJ - const | |||||||||||
M | пр | = b | |||||||||||
M лев | = a | 1 | 1 | 1 | |||||||||
1 | |||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||
M 2лев | M 2 | M 2пр = b2 | |||||||||||
= a2 | |||||||||||||
l |
Рис. 5.10 | ||||||||||||
∫l | M 1⋅ M 2 | dx = | 1 | ⋅ | l | ⋅(a1a2+4c1c2+ b1b2). | |||||||
EJ | EJ | 6 | |||||||||||
0 |
Учет знаков производится так же, как и для формулы трапеции.
Пример 5.1 .Требуется вычислить интеграл на участке,гдеxменяется от0до 5 м. Под интегралом произведение функции моментов M i и M j. Из-вестны значения этих функций в характерных точках (рис. 5.11).
I. Использование правила Верещагина
EJ - const | ц. т. | |||||||||||||||||||
M i | x | |||||||||||||||||||
5 | M i ⋅ M j | ω | ⋅Y | |||||||||||||||||
3 | 3 |
| ∫ | dx | = | 1 | c | = | ||||||||||||
EJ | EJ | |||||||||||||||||||
M j | 6 | Y c =3,5 | 0 | |||||||||||||||||
1 | 6 ⋅ 5 |
| 52,5 | |||||||||||||||||
1,75 | ⋅ | ⋅ 3,5 = | ||||||||||||||||||
EJ | EJ | |||||||||||||||||||
7 |
5,25 |
3,5 | 2 | |||||||||||||||||
l=5м | ||||||||||||||||||||
Рис. 5.11
II. Использование формулы трапеций.
В этом случае рассматриваем 2 участка длиной по 2,5 метра, т. к. пе-ремножаемые функции должны гладкими (без изломов).
5 | M i ⋅ M j | 1 | 2,5 | 2,5 | 52,5 | ||||||||||||
∫ | dx = | ⋅ | (2 | ⋅ 6 | ⋅ 3,5 | + 6 ⋅ 7)+ | (2 | ⋅ 6 | ⋅ 3,5) | = | . | ||||||
EJ | EJ | 6 | 6 | EJ | |||||||||||||
0 |
III. Использование формулы Симпсона
Для этого случая необходимо на каждом участке вычислить сред-нюю ординату.
5 | M i ⋅ M j | 1 | 2,5 | 2,5 | 52,5 | ||||||||||
∫ | dx = | ⋅ | (4 | ⋅ 3 ⋅ 5,25 | + 6 ⋅ 3,5) + | (6 | ⋅ 3,5 | + 4 ⋅ 3 ⋅1,75) | = | ||||||
EJ | EJ | 6 | 6 | EJ | |||||||||||
0 |
67
Пример 5.2. Данабалка под силовой нагрузкой из примера2.1 (рис. 5.12).Требуется определить вертикальное перемещение шарнира B и угла пово-рота в сечении правее шарнира B. Жесткость на изгиб принять: EJ=2·105.
Решение. Эпюра изгибающих моментов М от внешней нагрузки была по-строена в примере 2.1. Эта эпюра соответствует действительному состоя-нию системы. Для определения требуемых перемещений понадобится еще
2 эпюры на 2-х возможных состояниях, соответствующих определяемым перемещениям.
F=16кН | M=24кНм | q=2кН/м | ||||||
B | ||||||||
4 м | 4 м | 4 м 4 м | 4 м | 4 м 4 м | 4 м | 4 м | 4 м | |
50 | 48 | Действительное | ||||||
состояние |
M | ||||
24 | 16 | |||
F=150 | 36 | |||
Возможное | ||||
состояние 1 |
4
M 1
M=1
Возможное
состояние 2
0,5
0,5
M 2
M ⋅
= ∑∫0l
1 4
266,667
266,667
= 133,33⋅10−5
∆верт B
M1
dx =
2 ⋅ 50 ⋅ 4 =
=
м =1,33 см .
EJ
EJ 6
EJ
2 ⋅10
Перемещение имеет знак «+». Это значит, что сечение переместится вниз по направлению силы F=1 на возможном состоянии 1.
l M ⋅ | M | 2 | 1 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||
θ B | = ∑∫0 | dx | = |
| (2 | ⋅ 50 ⋅ 0,5) | + | (2 ⋅ 0,5 ⋅ (−50) + 1⋅ (−50) | + | |||||||||||||||
EJ | 6 | 6 | ||||||||||||||||||||||
EJ | ||||||||||||||||||||||||
+ | 4 | (2 ⋅ 0,5 ⋅ (−50) + | 0,5 ⋅ (−36)) = | 1 | (200 − 400 − 272) = | − 78,667 | = −39,333⋅10−5 | рад. | ||||||||||||||||
6 | 6EJ | 2 ⋅105 | ||||||||||||||||||||||
Перемещение имеет знак «−». Это означает, что сечение повернется про-тив хода часовой стрелки, т. е. противоположно направлению момента на возможном состоянии 2.
68
2019-08-13 | 293 | Обсуждений (0) |
5.00
из
|
Обсуждение в статье: Способы вычисление интеграла Мора |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы