Постановка задачи глобальной полиномиальной интерполяции. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Многочлен Лагранжа. Пограшность интерполяции.
Пусть на отрезке [a,b] задана функция ƒ(x). Задача интерполяции (или интерполирования) состоит в построении функции g(x), совпадающей с заданной ƒ(x) в некотором наборе точек {x1,x2,...,xn+1} из отрезка [a,b](эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(xk)=yk, k=1,2,...,n+1, где yk - известные значения функции ƒ(x) в точках xk. Функция g(x) называется интерполянтом функции ƒ(x). Известно, что система Ac=f однозначно разрешима когда det(A)≠0 Определителем матрицы A является определитель Ван-дер-Монда не равный нулю в силу условия xi≠xj при i≠j. Таким образом, коэффициенты c0 , ..., cN находятся однозначно. Следовательно, интерполяционный полином существует и единствен. Многочлен Лагранжа:
Оценка погрешности интерполяции Пусть функция определена на заданном отрезке . Известны значения функции в отдельных точках ( ) этого отрезка. По таблице функции построен интерполяционный многочлен . Используем его в качестве приближения для функции на отрезке . Тогда точное значение функции f в точке x будет равно , а в качестве приближенного значения функции f в точкеx мы получим . Абсолютная погрешность этого приближенного значения функции равна . Ее называют также абсолютной погрешностью интерполяции. Будем искать оценку абсолютной погрешности интерполяции.
17. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными и разделенными разностями. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями. Пусть функция задана таблицей точек с постоянным шагом (т.е. ). В этом случае вводится безразмерная переменная: , а многочлен Ньютона записывается в виде
18. Постановка задачи численного дифференцирования. Левая, правая и центральная разностные производные (1-ого порядка). Вторая разностная производная. Постановка задачи: Пусть на отрезке [a, b] в узлах одномерной сетки hx ={xi / xi = xi–1 + hi, hi > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b} заданы yi = f(xi), i = 0, 1, 2, …, n – значения дифференцируемой на этом отрезке функции f(x). Пусть wh = {xi = ih} – сетка с шагом h на отрезке 0 ≤ x ≤ 1. Рассмотрим производную f′(x). Заменить ее разностным выражением можно бесчисленным множеством способов. Простейшими являются замены
19.Постановка задачи численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их оценки погрешностей. Постановка задачи: Требуется найти значение определенного интеграла для некоторой заданной на отрезка [a, b] функции f(x). Для некоторых функций значение интеграла можно найти точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти только приближенно, используя тот или иной способ численного интегрирования. Численное интегрирование основано на замене интеграла суммой вида . Такая замена следует из определения интеграла как предела суммы . Зафиксировав n, мы получим предыдущую сумму.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (385)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |