Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка
Введение Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес.Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачии ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным,векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким. В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в применении к задачам элементарной геометриина плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем. Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка
При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):
Число z тогда называют комплексной координатой точки М. Поскольку множество точек евклидовой плоскости находитсяво взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальнойили нулевой точкой плоскости комплексных чисел. При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z = iy . Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число. Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается | z | или r: |z| = r = |OM| = Если откуда Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z = x + iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол Если дано комплексное число z = x + iy , то число Из равенства
Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и Для любого числа z, очевидно, |z | = | Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам: Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами. Каждой точке М( z ) плоскости - взаимно однозначно соответствует вектор Расстояние между точками А и В равно |АВ| = |а- b |. (1)
Так как | z |2= z | AB | 2 =(a-b)( Уравнение z откуда Если положить
Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны. При Тогда: c = Пусть имеем параллелограмм ABCD . Его центр имеет комплексную координату a+c = b+d (5)
является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.
Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1) Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4| MN |2. Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b , с, d, т, п. Так как m = |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 |AC|2+|BD|2+4|MN|2
Равенство доказано.
Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2) Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= - a , d = - b , и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству Задача 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN , PQ , соединяющих середины противоположных сторон . (Рис.3)
C B B C
Рис. 1 Рис. 2
Решение. Требуется доказать: Запишем левую часть равенства в комплексной форме:
B
M N
Q D Рис. 3 Задача 4. Доказать, что сумма квадратов медиан BM , AN , CP треугольника ABC равна Решение. Требуется доказать: Задача 5. Доказать, что расстояние от вершины С треугольника АВС до точки D, симметричной центру описанной окружности относительно прямой АВ, вычисляется по формуле |CD|2=R2+|AC|2+|BC|2-|AB|2, где R -радиус описанной окружности. (Рис.5) Решение. Точка M является серединой АВ, так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Точка М - середина О D (по условию). Тогда,
C A M C Рис. 4 Рис. 5
Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек ОПР: Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=arg Комплексные числа с аргументами 0,
Действительно, так как в этом случае число
Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d). ОПР: Векторы Замечание: 1. На основании (6) имеем:
2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности
3. Коллинеарность точек A , В, С характеризуется коллинеарностью векторов Это критерий принадлежности точек A , B , С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде
Если точки A и B принадлежат единичной окружности Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозначив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:
В частности, прямая ОА имеет уравнение Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что Комплексные числа с аргументами
Поэтому, или Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а— b и с— d перпендикулярны. В силу (13) имеем: В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности Выведем уравнение касательной к единичной окружности P (р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то или Поскольку Это частный случай уравнения (12a) при а= b =р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.
Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности Пользуясь уравнением (12а), получаем систему из которой почленным вычитанием находим: В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, в силу (15) ab =- cd , и поэтому результат (17) приводится к виду откуда В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как
3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касательных в точках A (а) и B(b) единичной окружности из которой находим: Поскольку Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.
Теорема Ньютона . В описанном около окружности четырехугольнике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.
Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четырехугольника AoBoCoDo через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис.4). Пусть М и N — середины диагоналей АoСo и BoDo соответственно. Тогда согласно (20) точки Аo, Вo, Сo, Do будут иметь соответственно комплексные координаты: где a, b, c, d – комплексные координаты точек A, B, C, D. Поэтому Вычисляем
Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А1, B1, C1, то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 коллинеарны (рис.5).
Доказательство. Используя (11), запишем условия коллинеарности троек точек АВ1С, СА1В, ВС1А, A1B1C1:
Если М, N , P — середины отрезков AA 1 , BB 1 , CC 1 , то предстоит показать, что
Так как или после перемножения:
Теперь легко видеть то, что (23) получается почленным сложением равенств (21). Доказательство закончено.
Теорема Паскаля . Точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и Вычисляем и аналогично Далее находим:
Поскольку числа Teopeмa Mонжа . Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпендикулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.
Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам четырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М( z ) серединного перпендикуляра к [AB] число В частности, при z=0 оно равно
Решим ещё несколько основных планиметрических задач. 3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Решение. Требуется доказать: Запишем 3адача 4. Доказать, что если средние линии MP , NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно. Решение. Требуется доказать: (a)
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1043)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |